[论文解读] Rational points near curves and small nonzero |x^3-y^2| via lattice reduction

Noam D. Elkies|ArXiv.org|May 14, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 21

一句话总结

本文提出了一种基于格约化的新型算法，可高效计算代数曲线附近的有理点，特别关注 |x³ − y²| 的小非零值，这与霍尔猜想相关。通过利用线性逼近和格约化，该方法在启发式时间复杂度为 O(X¹/² log^O(1) X) 的条件下，找到所有满足 x ≤ X 的解，从而发现了一项新纪录：x¹/² / |x³ − y²| = 46.60，显著优于以往的界限。

ABSTRACT

We give a new algorithm using linear approximation and lattice reduction to efficiently calculate all rational points of small height near a given plane curve C. For instance, when C is the Fermat cubic, we find all integer solutions of |x^3+y^3-z^3|>N, using only O(log N) space. Since the number of solutions should be asymptotically proportional to M log N (as long as M

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于定位平面曲线上方有理点的较小高度点，特别是那些接近丢番图方程整数解的点。
• 通过在子指数时间内计算所有满足 0 < |x³ − y²| ≪ x¹/² 且 x ≤ X 的整数解，解决霍尔猜想。
• 改进寻找 |x³ − y²| 较小值的计算界限，使 x¹/² / |x³ − y²| 的比值超越以往记录。
• 利用该算法的严格时间界限，证明关于有理数 c 的 (cx)³/² 模 1 分布的新结果。
• 将该方法推广至高维代数簇和非代数解析曲线，得出关于有理点稀少性的理论结果。

提出的方法

• 该算法使用线性逼近，将寻找曲线附近有理点的问题转化为高维空间中的格约化问题。
• 它将寻找满足 |x³ − y²| < δ 的解的问题，转化为基于曲线参数化的格中寻找短向量的问题。
• 应用格基约化（如 LLL 算法）以高效定位候选整数解 (x, y)，使得 |x³ − y²| 的绝对值较小。
• 该方法将搜索空间划分为独立的子问题，实现自然的并行化，并将内存使用量降低至 O(log N)。
• 针对霍尔猜想，该算法利用三次曲线 y² = x³ + k 的结构，通过 (cx)³/² 的有理逼近，将搜索时间减少至 O(X¹/² log^O(1) X)。
• 通过丢番图逼近理论严格界定了候选格向量的数量，从而对时间复杂度进行了严格证明，而非启发式。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否比暴力枚举更高效地计算给定平面曲线上方有理点的较小高度点？
• RQ2 当 x ≤ 10¹⁸ 时，|x³ − y²| 的最小值是多少？我们能否找到满足 x¹/² / |x³ − y²| > 46 的解？
• RQ3 能否利用格约化技术证明关于有理数 c > 0 的 (cx)³/² 模 1 分布的新结果？
• RQ4 是否可能在 O(X¹/² log^O(1) X) 时间内找到所有满足 |x³ − y²| < x¹/² 且 x ≤ X 的解？与以往方法相比如何？
• RQ5 该算法能否推广至高维代数簇或非代数曲线上的有理点查找？

主要发现

• 该算法在 O(X¹/² log^O(1) X) 时间内计算出所有满足 0 < |x³ − y²| < x¹/² 且 x ≤ 10¹⁸ 的解，仅使用 O(log X) 的空间。
• 发现了一项新纪录：当 x = 5,853,886,516,781,223 且 |x³ − y²| = 1,641,843 时，比值 r = x¹/² / |x³ − y²| = 46.60，较之前纪录提高了近 10 倍。
• 该方法找到了 25 个满足 |x³ − y²| < ½√x 且 x < 10¹⁸ 的解，其中包括 13 个此前未知且不在 GPZ 列表中的解。
• 该算法的时间界限已严格证明，从而导出了关于任意正有理数 c 的 (cx)³/² 模 1 分布的新定理。
• 满足 |x³ − y²| < Cx 且 x ≤ X 的解的数量被限制为 O(X¹/² log X)，且在任意区间 [θX, X]（其中 θ ∈ (0,1)）中存在 Ω(X¹/²) 个解。
• 该方法还产生了新的多项式族，使得 |zⁿ − yⁿ − xⁿ| 的值较小（n > 2），包括首次发现的若干个小于 1000 的整数 d 作为三个整数立方和的表示。