[论文解读] Rational points near self-similar sets

Han Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过分析自相似测度的傅里叶衰减，建立了有理点在自相似集附近的等分布性，证明了对中间-$p$分之一康托测度的收敛型喀希金定理。当 $p \geq 15$ 时，确认了猜想 A（$K \cap W_{>1}$ 的维数等于 $\dim_{\mathrm{H}}K$），并部分验证了猜想 B，数值证据表明 $p > 10^7$ 足够，而 $p \geq 15$ 对于大多数结果已足够。

ABSTRACT

In this paper, we consider a problem of counting rational points near self-similar sets. Let $n\geq 1$ be an integer. We shall show that for some self-similar measures on $\mathbb{R}^n$, the set of rational points $\mathbb{Q}^n$ is 'equidistributed' in a sense that will be introduced in this paper. This implies that an inhomogeneous Khinchine convergence type result can be proved for those measures. In particular, for $n=1$ and large enough integers $p,$ the above holds for the middle-$p$th Cantor measure, i.e. the natural Hausdorff measure on the set of numbers whose base $p$ expansions do not have digit $[(p-1)/2].$ Furthermore, we partially proved a conjecture of Bugeaud and Durand for the middle-$p$th Cantor set and this also answers a question posed by Levesley, Salp and Velani. Our method includes a fine analysis of the Fourier coefficients of self-similar measures together with an Erdős-Kahane type argument. We will also provide a numerical argument to show that $p>10^7$ is sufficient for the above conclusions. In fact, $p\geq 15$ is already enough for most of the above conclusions.

研究动机与目标

• 解决关于缺失数码集与良好逼近数之间交集维数的长期猜想。
• 为 $\mathbb{R}^n$ 上的自相似测度（特别是中间-$p$分之一康托测度）建立收敛型喀希金定理。
• 通过傅里叶分析与厄多斯-卡汉方法，证明有理点相对于自相似测度的等分布性。
• 提供数值证据表明 $p \geq 15$ 足够用于关键结果，优于先前的界限。

提出的方法

• 通过分析自相似测度的 $L^1$-傅里叶衰减，控制有理逼近上的指数和。
• 应用厄多斯-卡汉型论证，将 $L^2$-型估计转化为点态等分布结果。
• 使用经过仔细选择的序列 $Q_j = [e^{j\lambda}]$ 的改进型贝努力-康泰利引理，证明正测度的上极限集。
• 采用特征函数的光滑逼近，通过傅里叶系数有界指数和的 $L^1$-范数。
• 建立关键估计 $\int_{\{f_Q \geq k\}} f_Q d\mu \ll \frac{1}{k \log \log Q}$（当 $k \leq Q^{1-c}$ 时），实现测度控制。
• 在所有测度分支上应用统一性论证，将正测度结果提升为全测度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大的 $p$，非常良好逼近数集是否与中间-$p$分之一康托集相交，且具有全 Hausdorff 维数？
• RQ2 能否将喀希金定理的收敛部分推广至具有非均匀衰减的自相似测度？
• RQ3 对于缺失数码集，$K \cap W_{>1}$ 的 Hausdorff 维数是否等于 $\dim_{\mathrm{H}}K$？
• RQ4 有理点测度等分布性的精确阈值 $p$ 是多少？
• RQ5 自相似测度的傅里叶衰减能否用于推导度量丢番图逼近结果？

主要发现

• 当 $p = 15$ 时，猜想 A（Levesley, Salp, Velani）成立：$\dim_{\mathrm{H}}(K_{15} \cap W_{>1}) = \dim_{\mathrm{H}}K_{15}$。
• 猜想 C（Kleinbock-Lindenstrauss-Weiss）的收敛部分对 $\mu_{15}$ 成立：若 $\sum_q \psi(q) < \infty$，则 $\mu_{15}(W(\psi)) = 0$。
• 当 $p \geq 15$ 时，测度 $\mu_p$ 满足喀希金定理的收敛部分，将结果推广至一类自相似测度。
• 数值分析表明 $p > 10^7$ 足够得出主要结论，但 $p \geq 15$ 已足够用于大多数结果。
• 本文证明了关键估计 $\int_{\{f_Q \geq k\}} f_Q d\mu \ll \frac{1}{k \log \log Q}$，使贝努力-康泰利论证可用于全测度结果。
• 该方法证明了有理点的等分布性，即在适当的衰减条件下，有理点 $\delta$-邻域的 $\mu$-测度表现得如同勒贝格测度。