[论文解读] Rational points on certain hyperelliptic curves over finite fields

Maciej Ulas|ArXiv.org|Jun 11, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文在超曲面 $ u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ 上构造了有理曲线，其中 $ i=1,2 $，且 $ g_1(x) = x^n + ax + b $，$ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $，满足 $ ab \neq 0 $。利用这些曲线和 Woestijne 的算法，实现了在有限域上对超椭圆曲线 $ y^2 = g_i(x) $ 的非平凡有理点的确定性多项式时间构造。

ABSTRACT

Let $K$ be a field, $a, b\in K$ and $ab eq 0$. Let us consider the polynomials $g_{1}(x)=x^n+ax+b, g_{2}(x)=x^n+ax^2+bx$, where $n$ is a fixed positive integer. In this paper we show that for each $k\geq 2$ the hypersurface given by the equation \begin{equation*} S_{k}^{i}: u^2=\prod_{j=1}^{k}g_{i}(x_{j}),\quad i=1, 2. \end{equation*} contains a rational curve. Using the above and Woestijne's recent results \cite{Woe} we show how one can construct a rational point different from the point at infinity on the curves $C_{i}:y^2=g_{i}(x), (i=1, 2)$ defined over a finite field, in polynomial time.

研究动机与目标

• 为解决在有限域上高效构造超椭圆曲线有理点的开放问题，特别是当 Schoof 型算法可计算群阶但无法给出显式点时。
• 将先前在椭圆曲线上的工作扩展到更高亏格的超椭圆曲线，形式为 $ y^2 = x^n + ax + b $ 和 $ y^2 = x^n + ax^2 + bx $。
• 证明对所有 $ k \geq 2 $，超曲面 $ S_k^i: u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ 上存在有理曲线，从而实现算法化点构造。
• 提供一种确定性、多项式时间的方法，通过有理参数化和域论工具，在有限域上计算 $ C_i: y^2 = g_i(x) $ 上非无穷远有理点。

提出的方法

• 构造关于 $ t, u $ 的非平凡有理函数 $ X_1(t,u), X_2(t,u), X_3(t,u) $，使得 $ u^2 = g_1(X_1)g_1(X_2)g_1(X_3) $，从而在 $ S_3^1 $ 上形成一条有理曲线。
• 利用 $ \mathbb{F}_q^* $ 是循环群的性质，并应用 Woestijne 的确定性 $ n $ 次根算法，实现在 $ \mathbb{F}_q $ 中高效提取 $ n $ 次根，从而实现平方根的高效计算。
• 借助参数化方法，证明当 $ q $ 足够大时，至少有一个 $ g_1(X_j(t,u)) $ 在 $ \mathbb{F}_q $ 中是二次剩余，从而在 $ C_1 $ 上得到一个有理点。
• 将构造方法适配到 $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $，证明对所有 $ k \geq 2 $，$ S_k^2 $ 上也存在相同的有理曲线。
• 应用超曲面上有理曲线的理论，将在 $ C_i $ 上寻找有理点的问题转化为在 $ \mathbb{F}_q $ 上求解一组有理方程组。
• 利用参数化中分母 $ D(t,u) $ 的结构，对奇点数量进行有界，确保在 $ \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ 中存在有效的 $ (t,u) $ 对。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ k \geq 2 $，超曲面 $ S_k^i: u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ 是否包含有理曲线，其中 $ g_i(x) = x^n + ax + b $ 或 $ g_i(x) = x^n + ax^2 + bx $，且 $ ab \neq 0 $？
• RQ2 在仅知曲线方程的情况下，能否在有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上以多项式时间计算 $ C_i: y^2 = g_i(x) $ 上的非平凡有理点？
• RQ3 是否存在一种确定性、高效的算法，用于计算 $ C_i $ 上的有理点，而无需依赖非平方元或概率性平方根提取？
• RQ4 对于固定的多项式 $ g \in \mathbb{Z}[x] $，是否存在 $ k \geq 2 $，使得 $ S_k: u^2 = \prod_{j=1}^k g(x_j) $ 包含无穷多个满足 $ u \neq 0 $ 的有理点？
• RQ5 在什么条件下，超曲面 $ S_k $ 在 $ \mathbb{C} $ 上允许有理曲线存在？这是否意味着在数域上存在有理点的稠密性？

主要发现

• 对每个 $ k \geq 2 $，当 $ g_1(x) = x^n + ax + b $，$ ab \neq 0 $ 时，超曲面 $ S_k^1: u^2 = \prod_{j=1}^k g_1(x_j) $ 在足够大的 $ q $ 下，存在定义在 $ \mathbb{F}_q $ 上的有理曲线。
• 该构造至少产生 $ (q - n)(q - 2(n-1) + 1) $ 个有效的参数对 $ (t,u) \in \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $，使得分母 $ D(t,u) \neq 0 $，从而确保有理函数有定义。
• 当 $ q > 2(n-1) - 1 $ 时，存在至少一个 $ j \in \{1,2,3\} $，使得 $ g_1(X_j(t,u)) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 中的二次剩余，从而可实现显式平方根提取。
• 利用 Woestijne 的确定性 $ n $ 次根算法，可从有理曲线参数化在多项式时间内计算出 $ C_1: y^2 = g_1(x) $ 上的有理点。
• 对 $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $ 同样成立，表明对所有 $ k \geq 2 $，$ S_k^2 $ 也允许有理曲线存在，从而实现对 $ C_2 $ 上点的多项式时间构造。
• 由 $ \Phi(t,u) = (X_j(t,u), \sqrt{g_1(X_j(t,u))}) $ 定义的映射 $ \Phi: T \to C $ 在 $ \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ 的大子集 $ T \subset $ 上是良定义的，暗示其可能存在满射性。