[论文解读] Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty

Jordan S. Ellenberg, Daniel Rayor Hast|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文将金的非交换 Chabauty 方法推广至有 CM Jacobian 的曲线的可解覆盖，证明了任何在 ℚ 上几何支配此类曲线的光滑射影曲线，其有理点有限。关键结果是：通过该方法，所有在 ℚ 上的超椭圆曲线均有有限个有理点，推广了关于 CM Jacobian 的早期结果。

ABSTRACT

We study the Selmer varieties of smooth projective curves of genus at least two defined over $\mathbb{Q}$ which geometrically dominate a curve with CM Jacobian. We extend a result of Coates and Kim to show that Kim's non-abelian Chabauty method applies to such a curve. By combining this with results of Bogomolov-Tschinkel and Poonen on unramified correspondences, we deduce that any cover of $\mathbf{P}^1$ with solvable Galois group, and in particular any superelliptic curve over $\mathbb{Q}$, has only finitely many rational points over $\mathbb{Q}$.

研究动机与目标

• 将科茨与金关于具有 CM Jacobian 的曲线的结果推广至 ℚ 上更广泛的曲线类。
• 建立非交换 Chabauty 方法适用于通过有限伽罗瓦覆盖几何支配具有 CM Jacobian 的曲线的曲线。
• 利用非交换 Chabauty 方法证明 ℚ 上超椭圆曲线的有理点有限性。
• 将非交换 Chabauty 方法与无分歧对应和 étale 覆盖联系起来，以扩展其适用范围。
• 为证明具有可解伽罗瓦群的曲线在 ℚ 上的有理点有限性提供一个框架。

提出的方法

• 为从曲线 Y 到有限伽罗瓦扩张 K/ℚ 上的曲线 X 的支配映射定义一个相对 Selmer 簇。
• 利用幂零阿贝尔映射和 p 进 Coleman 函数分析 Selmer 簇的维数。
• 通过验证相对 Selmer 簇上的维数假设（类比经典 Chabauty 条件）来应用非交换 Chabauty 方法。
• 利用限制基域的工具将 Y 上的有理点与 X 在 ℚ 上的基变换的有理点联系起来。
• 利用 X 的 Jacobian 具有 CM 的事实，通过科茨–金定理确保维数假设成立。
• 结合博戈莫洛夫–察金格尔与普南关于无分歧对应的结果，表明许多曲线（包括超椭圆曲线）通过 étale 覆盖支配一个具有 CM Jacobian 的曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 金的非交换 Chabauty 方法能否推广至几何支配具有 CM Jacobian 的曲线的曲线，即使其自身的 Jacobian 不是 CM？
• RQ2 非交换 Chabauty 方法是否适用于 ℚ 上的超椭圆曲线，而这些曲线未被先前结果覆盖？
• RQ3 能否使用非交换 Chabauty 方法而非法尔廷斯定理，来证明具有可解伽罗瓦群的曲线的有理点有限性？
• RQ4 无分歧对应和 étale 覆盖在扩展非交换 Chabauty 方法适用范围中起什么作用？
• RQ5 是否可能证明所有通过有限伽罗瓦覆盖支配具有 CM Jacobian 的曲线的 ℚ 上曲线，其有理点有限？

主要发现

• 非交换 Chabauty 方法适用于任何在 ℚ 上光滑射影的曲线 Y，只要存在一个到有限伽罗瓦扩张 K/ℚ 上的曲线 X 的支配映射，且 X 具有 CM Jacobian。
• 在这些条件下，相对 Selmer 簇的维数假设成立，从而推出 Y 上有理点的有限性。
• 所有在 ℚ 上且亏格至少为 2 的超椭圆曲线均有有限个有理点，因为它们满足主定理的条件。
• 该结果通过证明此类曲线通过 étale 覆盖支配一个具有 CM Jacobian 的曲线而得出，利用了博戈莫洛夫–察金格尔与普南的结果。
• 该方法适用于任何满足 C ⇒ X（其中 X 具有潜在 CM Jacobian）的 ℚ 上曲线 C，从而将有限性结果推广至一大类曲线。
• 该方法不提供有效界或计算有理点的算法，但确立了一类新的结构性条件，使得可通过非交换 Chabauty 方法证明有理点的有限性。