[论文解读] Rational rays and critical portraits of complex polynomials

Jan Kiwi|ArXiv.org|Oct 15, 1997

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 30

一句话总结

本文建立了所有周期均为排斥性的复多项式之有理层的完整组合表征，表明此类层恰好来源于具有非周期性 kneading 的临界形象 $\Theta$ 的 ${\Lambda_{\mathbb{Q}}}(\Theta)$。本文证明了这些层完全决定了朱利亚集的拓扑结构，且对应多项式由其有理层唯一确定。

ABSTRACT

The aim of this work is to describe the equivalence relations in $\Q/\Z$ that arise as the rational lamination of polynomials with all cycles repelling. We also describe where in parameter space one can find a polynomial with all cycles repelling and a given rational lamination. At the same time we derive some consequences that this study has regarding the topology of Julia sets.

研究动机与目标

• 表征 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上哪些等价关系可作为所有周期均为排斥性的复多项式的有理层。
• 在所有周期均为排斥性的假设下，描述朱利亚集的拓扑结构，特别关注端点印象。
• 确定具有给定有理层且所有周期均为排斥性的多项式在参数空间中的位置。
• 建立具有非周期性 kneading 的临界形象与所有周期均为排斥性的多项式之有理层之间的对应关系。
• 证明此类多项式由其有理层唯一确定，将二次动力系统的结论推广至高次多项式。

提出的方法

• 使用有理层 $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f)$ 的概念，作为 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上的等价关系，将外射线在朱利亚集中落在同一点的辐角标识为等价。
• 引入临界形象 $\Theta = \{\Theta_1, \dots, \Theta_m\}$ 作为 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的有限子集，满足以下三个条件：大小至少为 2，$|d \cdot \Theta_j| = 1$，两两不交叉，且 $\sum(|\Theta_j| - 1) = d - 1$。
• 通过乘以 $d$ 的符号动力学构造 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上的等价关系 $\Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$，使用 $\Theta$-不交叉类。
• 区分具有周期性与非周期性 kneading 的临界形象，表明仅当 kneading 为非周期性时，才能产生所有周期均为排斥性的多项式的有理层。
• 应用拓扑与动力学技术，包括端点印象与 Yoccoz 拼图，分析局部连通性与射线着陆行为。
• 利用参数空间 $\mathcal{P}_d$ 中多项式序列的连续性与收敛性论证，证明 $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f) = \Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ 当且仅当 $\Theta$ 具有非周期性 kneading。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 上的等价关系可作为所有周期均为排斥性的复多项式的有理层？
• RQ2 当所有周期均为排斥性时，朱利亚集的拓扑结构与有理层之间有何关系？
• RQ3 具有非周期性 kneading 的临界形象在生成此类有理层中起什么作用？
• RQ4 有理层是否能唯一确定一族所有周期均为排斥性的首一、中心多项式？
• RQ5 在参数空间 $\mathcal{P}_d$ 的何处可以找到具有给定有理层且所有周期均为排斥性的多项式？

主要发现

• 当且仅当存在具有非周期性 kneading 的临界形象 $\Theta$，使得 $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f) = \Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ 时，有理层 $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f)$ 才能由所有周期均为排斥性且朱利亚集连通的多项式 $f$ 产生。
• 对于此类多项式，朱利亚集在所有周期点与预周期点处均为局部连通，且每个此类点是其端点印象中的唯一一点。
• 朱利亚集中的每一点至少属于一个、至多属于有限个端点印象，即使朱利亚集不具有局部连通性亦然。
• 在具有无限正向轨道的点 $z$ 处，着陆的外射线数量至多为 $2^d$，且当 $n$ 足够大时，着陆于 $f^{\circ n}(z)$ 的射线数量至多为 $d$。
• 若 $f$ 是所有周期均为排斥性的多项式，且 $f \in I_{{\mathcal{C}}_d}(\Theta)$，其中 $\Theta \in \mathcal{A}_d$ 为临界形象，则 $\lambda_{{\mathbb{Q}}}(f) = \Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$，且 $\Theta$ 必须具有非周期性 kneading。
• 对于由严格预周期辐角构成的临界形象 $\Theta$，临界形象印象 $I_{{\mathcal{C}}_d}(\Theta)$ 恰好包含一个多项式，该多项式为临界预排斥的，且由 $\Lambda_{{\mathbb{Q}}}(\Theta)$ 唯一确定。