[论文解读] Rational self-homotopy equivalences and Whitehead exact sequence

Mahmoud Benkhalifa|ArXiv.org|May 9, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文建立了有理自同伦等价群模掉在同伦群上诱导恒等映射的那些自同伦等价群的商群与有理同伦群上自一致自同构群之间的精确同构关系。通过从极小 Sullivan 模型构造 Whitehead 正合列，证明了 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X) \cong \mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$，并显式计算了有理空间的该群，表明对于 $n \leq 10$，$\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 作为自同伦等价群被实现。

ABSTRACT

For a simply connected CW-complex $X$, let $\mathcal{E}(X)$ denote the group of homotopy classes of self-homotopy equivalence of $X$ and let $\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ be its subgroup of homotopy classes which induce the identity on homotopy groups. As we know, the quotient group $\frac{\mathcal{E}(X)}{\mathcal{E}_{\sharp}(X)}$ can be identified with a subgroup of $Aut(π_{*}(X))$. The aim of this work is to determine this subgroup for rational spaces. We construct the Whitehead exact sequence associated with the minimal Sullivan model of $X$ which allows us to define the subgroup $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}\big(π_{*}(X),\Bbb Q)\big)$ of self-coherent automorphisms of the graded vector space $\mathrm{Hom}(π_*(X),\Bbb Q)$. As a consequence we establish that $\mathcal{E}(X) / \mathcal{E}_{\sharp}(X) \cong \mathrm{Coh.Aut} (\mathrm{Hom}(π_*(X),\Bbb Q))$. In addition, by computing the group $\mathrm{Coh.Aut}\big(\mathrm{Hom}(π_{*}(X),\Bbb Q)\big)$, we give examples of rational spaces that have few self-homotopy equivalences.

研究动机与目标

• 确定单连通有理 CW 复形 $X$ 的商群 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ 的结构，其中 $\mathcal{E}(X)$ 是自同伦等价群，$\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ 由在同伦群上诱导恒等映射的那些元素构成。
• 从有理空间的极小 Sullivan 模型构造 Whitehead 正合列，从而在有理同伦群上定义一致自同构。
• 通过 Whitehead 序列与上链模型技术，建立 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ 与群 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$ 之间的同构关系。
• 显式计算特定有理空间的 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$，并证明 $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 可作为 $\mathcal{E}(X)$ 对于 $n \leq 10$ 被实现。
• 提出一个开放问题：$\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 是否对所有 $n \geq 11$ 都可被实现？

提出的方法

• 从单连通有理空间 $X$ 的极小 Sullivan 模型 $(\Lambda V, \partial)$ 构造 Whitehead 正合列 $WES(\Lambda V, \partial)$，利用滤子 $\Lambda V^{\leq n}$。
• 定义在分次对偶 $V^*$ 上的自一致同态的半群 $\mathrm{Coh.Mor}(V^*)$ 与群 $\mathrm{Coh.Aut}(V^*)$，其编码了在上同调上的相容作用。
• 建立如下群的短正合列：$\mathcal{E}_{\sharp}(X) \rightarrowtail \mathcal{E}(X) \twoheadrightarrow \mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$，将自同伦等价与一致自同构联系起来。
• 利用有理同伦理论与极小上链代数之间的等价性，将拓扑问题转化为在极小 Sullivan 模型上的代数计算。
• 通过求解来自模型微分关系的有理系数多项式方程组，计算 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$。
• 通过逐次添加指定微分的高阶生成元，扩展极小 Sullivan 模型，并通过上同调上诱导映射的核计算得到的自一致自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单连通有理空间 $X$，商群 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ 的结构是什么？
• RQ2 能否使用其极小 Sullivan 模型显式计算有理空间的群 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$？
• RQ3 哪些有限群可作为有理空间的自同伦等价群出现？
• RQ4 对于哪些 $n$，群 $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 可作为某个有理空间 $X$ 的 $\mathcal{E}(X)$ 被实现？
• RQ5 是否对所有 $n \geq 11$，$\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 都可被实现？

主要发现

• 对于任意单连通有理 CW 复形 $X$，商群 $\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}_{\sharp}(X)$ 同构于 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$。
• 通过其极小 Sullivan 模型，显式计算了有理空间序列的 $\mathrm{Coh.Aut}(\mathrm{Hom}(\pi_*(X),\mathbb{Q}))$。
• 对于极小 Sullivan 模型 $\Lambda U_1$，自一致自同构群为 $\mathbb{Z}_2^4$，故 $\mathcal{E}(\Lambda U_1, \delta_1) \cong \mathbb{Z}_2^4$。
• 通过依次添加度数为 4、5、6、15、20、30 和 60 且具有指定微分的生成元，自一致自同构群增长为 $\mathbb{Z}_2^8$、$\mathbb{Z}_2^9$、$\mathbb{Z}_2^{10}$ 等。
• 群 $\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 可作为 $\mathcal{E}(X)$ 对于 $n \leq 10$ 被实现，且 $\mathcal{E}(\Lambda U_8, \delta_8) \cong \bigoplus_{2^{10}} \mathbb{Z}_2$。
• 本文未解决的问题是：$\bigoplus_{2^n} \mathbb{Z}_2$ 是否对所有 $n \geq 11$ 都可被实现。