[论文解读] Rational solutions of the Boussinesq equation and applications to rogue waves

Peter A. Clarkson, Ellen Dowie|Kent Academic Repository (University of Kent)|Sep 2, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 117被引用 91

一句话总结

本文推导了布西内斯克方程的有理解——代数衰减的、含两个任意参数的解，以特殊多项式表示——其形式类似于聚焦非线性薛定谔（NLS）方程的 rogue 波解。本文建立了一个统一框架，表明 KPI 方程的有理解源自 NLS 和布西内斯克方程的有理解，二者本质不同但可通过广义解形式统一起来。

ABSTRACT

We study rational solutions of the Boussinesq equation, which is a soliton equation solvable by the inverse scattering method. These rational solutions, which are algebraically decaying and depend on two arbitrary parameters, are expressed in terms of special polynomials that are derived through a bilinear equation, have a similar appearance to rogue-wave solutions of the focusing nonlinear Schrödinger (NLS) equation and have an interesting structure. Further rational solutions of the Kadomtsev-Petviashvili I (KPI) equation are derived in two ways, from rational solutions of the NLS equation and from rational solutions of the Boussinesq equation. It is shown that the two families of rational solutions of the KPI equation are fundamentally different.

研究动机与目标

• 推导布西内斯克方程的有理解，其具有代数衰减性且依赖于两个任意参数。
• 探讨这些解的结构性质，特别是其作为关联双线性方程四个独立解的线性组合的构成方式。
• 建立布西内斯克方程有理解与聚焦 NLS 方程有理解之间的联系。
• 将 KPI 方程的两组本质不同的有理解家族——分别源自 NLS 和布西内斯克方程解——统一于一个广义框架之中。
• 展示这些解在水波、光学和离子等离子体物理等多种物理系统中对 rogue 波现象的相关性。

提出的方法

• 通过双线性形式构造布西内斯克方程的有理解，使用从双线性方程导出的特殊多项式。
• 解以空间和时间变量的有理函数形式表示，其系数由多项式递推关系确定。
• 通过将解分解为关联双线性方程四个独立解的线性组合，分析其结构。
• 以两种方式推导 KPI 方程的有理解：分别源自聚焦 NLS 方程的有理解和布西内斯克方程的有理解。
• 推导出一个广义的 KPI 方程有理解，其可退化为基于 NLS 和基于布西内斯克的两族解作为特例。
• 通过证明两组不同的 KPI 解族本质上不同但可嵌入广义解中，验证了统一框架的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地推导布西内斯克方程的有理解？其结构特性是什么？
• RQ2 布西内斯克方程的有理解与聚焦 NLS 方程的有理解之间存在何种关系，尤其是在 rogue 波建模的背景下？
• RQ3 源自 NLS 和布西内斯克方程解的两组 KPI 方程有理解族是否本质上不同？若是，如何实现统一？
• RQ4 能否构造一个广义的 KPI 方程有理解，使其同时包含基于 NLS 和基于布西内斯克的解作为特例？
• RQ5 这些有理解在建模多种非线性系统中 rogue 波现象的物理意义是什么？

主要发现

• 布西内斯克方程的有理解具有代数衰减性，依赖于两个任意参数，其显式形式由 x 和 t 的高次多项式给出。
• 这些解由关联双线性方程的四个独立解的线性组合构成，揭示了非平凡的内部结构。
• KPI 方程的有理解可分别源自聚焦 NLS 方程和布西内斯克方程，产生两组不同的解族。
• 这两组 KPI 有理解族本质上不同，其差异由不同的多项式结构和渐近行为所证实。
• 推导出一个广义的 KPI 方程有理解，统一了两族解，其中基于 NLS 和基于布西内斯克的解作为极限情况出现。
• 所推导的解在外观上与 NLS 方程的 rogue 波解相似，支持其在非线性系统中对极端波事件建模的相关性。