[论文解读] Rational spectral methods for PDEs involving fractional Laplacian in unbounded domains

Tao Tang, Li-Lian Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Numerical methods in inverse problems被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于改进映射Gegenbauer函数（MMGFs）的有理谱方法，用于求解无界域中具有分数阶拉普拉斯算子的分数阶PDE。通过利用修正贝塞尔函数推导出MMGFs的显式傅里叶变换和分数阶拉普拉斯公式，作者构建了在分数阶Sobolev空间中具有最优收敛率的谱-Galerkin与配置格式，在数值实验中表现出相较于基于Hermite函数的方法更优的精度。

ABSTRACT

Many PDEs involving fractional Laplacian are naturally set in unbounded domains with underlying solutions decay very slowly, subject to certain power laws. Their numerical solutions are under-explored. This paper aims at developing accurate spectral methods using rational basis (or modified mapped Gegenbauer functions) for such models in unbounded domains. The main building block of the spectral algorithms is the explicit representations for the Fourier transform and fractional Laplacian of the rational basis, derived from some useful integral identites related to modified Bessel functions. With these at our disposal, we can construct rational spectral-Galerkin and direct collocation schemes by pre-computing the associated fractional differentiation matrices. We obtain optimal error estimates of rational spectral approximation in the fractional Sobolev spaces, and analyze the optimal convergence of the proposed Galerkin scheme. We also provide ample numerical results to show that the rational method outperforms the Hermite function approach.

研究动机与目标

• 解决无界域中具有缓慢衰减解的分数阶PDE缺乏高效谱方法的问题。
• 克服传统Hermite函数和Laguerre函数在逼近代数衰减解时的局限性。
• 基于有理基函数（改进映射Gegenbauer函数）构建适用于分数阶拉普拉斯问题的稳健谱框架。
• 为所提出的有理谱-Galerkin方法建立在分数阶Sobolev空间中的最优误差估计。
• 通过广泛的数值比较，证明有理方法相较于Hermite配置方法的优越性。

提出的方法

• 采用改进映射Gegenbauer函数（MMGFs）作为基函数，通过有理映射从Jacobi多项式导出，以捕捉代数衰减特性。
• 利用涉及第二类修正贝塞尔函数的积分恒等式，推导出MMGFs傅里叶变换的显式解析表达式。
• 利用这些傅里叶变换公式计算基函数的分数阶拉普拉斯算子，并构建分数阶微分矩阵。
• 通过预计算微分矩阵并在频域中求解，构建有理谱-Galerkin与直接配置格式。
• 采用张量积积分规则，高效计算解的傅里叶变换与逆变换。
• 利用与正向变换相同的公式计算MMGFs的逆傅里叶变换，实现在物理空间中解的重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于改进映射Gegenbauer函数的有理谱方法是否能在具有缓慢衰减解的无界域分数阶PDE中实现最优收敛率？
• RQ2 MMGFs的傅里叶变换与分数阶拉普拉斯算子的行为如何？能否用特殊函数表示其闭式表达？
• RQ3 所提出的有理谱方法在精度与收敛速度方面相较于经典Hermite函数方法的优越程度如何？
• RQ4 该方法能否扩展至高维问题，并结合高效求解器与预条件子？
• RQ5 形状参数λ在调节MMGFs逼近性质以适应不同解衰减特性方面起什么作用？

主要发现

• 所提出的有理谱-Galerkin方法在分数阶Sobolev空间中实现了最优收敛率，误差界与理论预期一致。
• 利用修正贝塞尔函数推导出MMGFs傅里叶变换的显式公式，从而实现分数阶拉普拉斯算子的精确计算。
• MMGF配置方法在1D与2D数值算例中均表现出相较于Hermite配置方法更高的精度与更快的收敛速度。
• 在f(x,y) = exp(−√(x²+y²))的2D测试算例中，λ=0.5的MMGF方法精度高于Hermite方法以及λ=0的MMGF方法。
• 由于微分矩阵的直接构造方式，无需依赖变换求逆，该方法对非线性问题具有鲁棒性。
• MMGFs的逆傅里叶变换可使用与正向变换相同的解析公式计算，从而实现高效的解重建。