[论文解读] Rational Subsets of Baumslag-Solitar Groups

Michaël Cadilhac, Dmitry Chistikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 2

一句话总结

该论文证明了在 Baumslag-Solitar 群 BS(1, q)（q ≥ 2）中，有理子集成员关系是可判定的，且为 PSPACE 完全问题。论文引入了群元素的带标记展开（PE）表示法，并证明 BS(1, q) 的每个有理子集都是 PE-正则的，从而通过正则语言技术实现了成员关系、布尔组合的空性以及有限指数子群识别的有效决策过程。

ABSTRACT

We consider the rational subset membership problem for Baumslag-Solitar groups. These groups form a prominent class in the area of algorithmic group theory, and they were recently identified as an obstacle for understanding the rational subsets of $ ext{GL}(2,\mathbb{Q})$. We show that rational subset membership for Baumslag-Solitar groups $ ext{BS}(1,q)$ with $q\ge 2$ is decidable and PSPACE-complete. To this end, we introduce a word representation of the elements of $ ext{BS}(1,q)$: their pointed expansion (PE), an annotated $q$-ary expansion. Seeing subsets of $ ext{BS}(1,q)$ as word languages, this leads to a natural notion of PE-regular subsets of $ ext{BS}(1, q)$: these are the subsets of $ ext{BS}(1,q)$ whose sets of PE are regular languages. Our proof shows that every rational subset of $ ext{BS}(1,q)$ is PE-regular. Since the class of PE-regular subsets of $ ext{BS}(1,q)$ is well-equipped with closure properties, we obtain further applications of these results. Our results imply that (i) emptiness of Boolean combinations of rational subsets is decidable, (ii) membership to each fixed rational subset of $ ext{BS}(1,q)$ is decidable in logarithmic space, and (iii) it is decidable whether a given rational subset is recognizable. In particular, it is decidable whether a given finitely generated subgroup of $ ext{BS}(1,q)$ has finite index.

研究动机与目标

• 解决 q ≥ 2 时 Baumslag-Solitar 群 BS(1, q) 中有理子集成员关系的可判定性问题。
• 克服有理子集在 GL(2, Q) 中受 BS(1, q) 子群影响而难以处理的障碍。
• 引入一种新颖的词表示法——带标记展开（PE），用于表示 BS(1, q) 的元素，并将 PE-正则子集定义为具有正则 PE 语言表示的子集。
• 证明 BS(1, q) 的所有有理子集都是 PE-正则的，从而实现闭包性质和可判定性结果。
• 将 PE-正则框架应用于判定可识别性、有限指数子群以及有理子集的布尔组合。

提出的方法

• 在 BS(1, q) 中引入群元素的带标记展开（PE），将元素表示为带标记的 q 进制展开，标记指示基 a 分量中数字 '1' 的位置。
• 将 PE-正则子集定义为 BS(1, q) 的子集，其 PE 表示形成正则语言。
• 通过分析群自动机的运行轨迹，并将其分解为细长运行和返回左循环，证明每个 BS(1, q) 的有理子集都是有效 PE-正则的。
• 利用正则语言的闭包性质，证明 PE-正则子集构成布尔代数，从而实现空性与补集的可判定性。
• 构造有效的转换函数，以检测 PE-正则集合的 k-周期性，将可识别性与 Z[1/q] ⋊ Z 分量中的周期性联系起来。
• 将判定某个有理子集是否可识别的问题，归约为检查某个特定正则语言（在 a* 上）是否非空，利用周期性检测集的有效正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 q ≥ 2 的 BS(1, q)，有理子集成员关系是否可判定？其复杂度如何？
• RQ2 能否通过带标记展开，将 BS(1, q) 的有理子集有效表示为正则语言？
• RQ3 在 BS(1, q) 中，有理子集的布尔组合是否可判定？
• RQ4 给定 BS(1, q) 的一个有理子集，是否可判定其是否可识别？
• RQ5 能否判定 BS(1, q) 的一个有限生成子群是否具有有限指数？

主要发现

• 对于 q ≥ 2 的 BS(1, q)，有理子集成员关系是可判定的，且为 PSPACE 完全问题。
• BS(1, q) 的每个有理子集都是有效 PE-正则的，即其带标记展开形成正则语言。
• BS(1, q) 中有理子集布尔组合的空性是可判定的。
• 在任意固定有理子集中，成员关系可在对数空间内判定。
• 可判定给定 BS(1, q) 的有理子集是否可识别，且该性质等价于 Z[1/q] 分量中的周期性。
• 可判定 BS(1, q) 的一个有限生成子群是否具有有限指数，因为这等价于该子群是可识别的。