[论文解读] Rational Symplectic Field Theory over Z_2 for exact Lagrangian cobordisms

Tobias Ekholm|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 10

一句话总结

该论文在具有柱形端的辛流形中，为精确拉格朗日子流形 cobordism 构造了 ℤ₂ 上的有理辛场论，使用具有 k 个过滤层级的过滤链复形。它建立了在形变下不变的谱序列，并证明了将 s 个平行副本划分为 k 个子集的 Legendrian 子流形的对称化所对应的谱序列，构成 Legendrian 同痕不变量。

ABSTRACT

We construct a version of rational Symplectic Field Theory for pairs $(X,L)$, where $X$ is an exact symplectic manifold, where $L\subset X$ is an exact Lagrangian submanifold with components subdivided into $k$ subsets, and where both $X$ and $L$ have cylindrical ends. The theory associates to $(X,L)$ a $\Z$-graded chain complex of vector spaces over $\Z_2$, filtered with $k$ filtration levels. The corresponding $k$-level spectral sequence is invariant under deformations of $(X,L)$ and has the following property: if $(X,L)$ is obtained by joining a negative end of a pair $(X',L')$ to a positive end of a pair $(X'',L'')$, then there are natural morphisms from the spectral sequences of $(X',L')$ and of $(X'',L'')$ to the spectral sequence of $(X,L)$. As an application, we show that if $Λ\subset Y$ is a Legendrian submanifold of a contact manifold then the spectral sequences associated to $(Y imes\R,Λ_k^s imes\R)$, where $Y imes\R$ is the symplectization of $Y$ and where $Λ_k^s\subset Y$ is the Legendrian submanifold consisting of $s$ parallel copies of $Λ$ subdivided into $k$ subsets, give Legendrian isotopy invariants of $Λ$.

研究动机与目标

• 为具有柱形端的辛流形中的精确拉格朗日子流形 cobordism 构造 ℤ₂ 上的有理辛场论。
• 为对 (X, L) 定义一个具有 k 个过滤层级的过滤链复形，其中 X 是一个精确辛流形，L 是一个精确拉格朗日子流形，其分量被划分为 k 个子集。
• 从该过滤复形构造一个在 (X, L) 的形变下不变的谱序列。
• 证明该谱序列尊重 cobordism 的粘合，且从组成对的谱序列到粘合后对的谱序列存在自然态射。
• 将该理论应用于 Legendrian 子流形的对称化，证明 (Y×ℝ, Λₖˢ×ℝ) 的谱序列构成 Legendrian 同痕不变量。

提出的方法

• 从边界位于 L 上且在边界 puncture 处渐近于 Reeb 弦的 J-全纯曲线构造一个 ℤ-分次的 ℤ₂ 上的链复形。
• 使用对应于精确拉格朗日子流形 L 的分量的 k 个子集的 k 级过滤。
• 对几乎复结构的路径应用扰动方案，以实现横截性并控制边界泡的产生。
• 定义一个增量映射 Δ: V(X₀,L₀) → V(X₁,L₁)，以追踪由于扰动导致的势向量变化，确保各层级之间的一致性。
• 证明维度 ≤1 的允许全纯盘的模空间是横截切割的，从而防止 (-1)-盘的多重粘合。
• 建立一个边界粘合公式，显示 f₁ = f₀ + Δ(f₀, k)，其中 f₀ 和 f₁ 分别为相邻层级的势向量，确保谱序列的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有 k-过滤结构的精确拉格朗日子流形 cobordism 构造一个 ℤ₂ 上的有理辛场论？
• RQ2 该谱序列在 cobordism (X, L) 的形变下是否保持不变？
• RQ3 粘合 cobordism 的谱序列是否能从其组成部分的谱序列自然地获得态射？
• RQ4 该理论能否产生 Legendrian 子流形在 Legendrian 同痕下的不变量？
• RQ5 将 s 个平行副本的 Legendrian 子流形（划分为 k 个子集）的对称化所对应的谱序列，是否为 Legendrian 同痕不变量？

主要发现

• 该理论为被划分为 k 个子集的分量的精确拉格朗日子流形 cobordism (X, L) 构造了一个 ℤ-分次的 ℤ₂ 上的过滤链复形，具有 k 个层级。
• 该过滤复形所关联的谱序列在 (X, L) 的形变下保持不变，确保了不变量的鲁棒性。
• 当 (X, L) 是通过将 (X′, L′) 的负端与 (X′′, L′′) 的正端粘合而得到时，存在从 (X′, L′) 和 (X′′, L′′) 的谱序列到 (X, L) 的谱序列的自然态射。
• 对于 Y 中的 Legendrian 子流形 Λ，谱序列 (Y×ℝ, Λₖˢ×ℝ)，其中 Λₖˢ 由 s 个平行副本的 Λ 划分为 k 个子集，是 Legendrian 同痕不变量。
• 层级 1 的势向量 f₁ 与层级 0 的 f₀ 通过 f₁ = f₀ + Δ(f₀, k) 关联，其中 k 计数扰动中的 (-1)-盘，确保了层级间的一致性。
• 维度 ≤1 的全纯盘模空间实现了横截性，且无断裂盘可包含超过一个 (-1)-盘因子，这确保了线性化算子是满射。