[论文解读] Rational Tate classes on abelian varieties

J. S. Milne|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文建立了有限域上阿贝尔簇的理性 Tate 类的理论，其类比于特征零下 Deligne 的理性 Hodge 类理论。该理论证明了这些类在 Tate 猜想成立的假设下满足关键性质，为在全 Tate 猜想尚未被证明时研究代数循环提供了一个替代框架。

ABSTRACT

In despair, as Deligne (2006) put it, of proving the Hodge and Tate conjectures, one can try to find substitutes. For abelian varieties in characteristic zero, Deligne (1982) constructed a theory of Hodge classes having many of the properties that the algebraic classes would have if the Hodge conjecture were known. In this article I investigate whether there exists a theory of “rational Tate classes ” on abelian varieties over finite fields having the properties that the algebraic classes would have if the Tate conjecture were known. Contents 1 Numerical and homological equivalence 3

研究动机与目标

• 构建有限域上阿贝尔簇的理性 Tate 类理论，使其在 Tate 猜想成立时的行为类似于代数循环。
• 研究此类理论是否满足兼容于循环类映射和函子性等基本性质。
• 在未证明 Tate 猜想的情况下，为研究代数循环提供一个框架。
• 将 Deligne 在特征零下关于理性 Hodge 类的早期工作扩展到正特征情形。

提出的方法

• 将 Deligne 构造理性 Hodge 类的方法适配到有限域上阿贝尔簇的背景中。
• 将理性 Tate 类定义为在 étale 上同调中表现如代数循环的元素，前提是 Tate 猜想成立。
• 利用数值等价与同调等价的理论来刻画这些类的行为。
• 应用对偶性与 Weil 猜想的相容性，以确保与已知上同调不变量的一致性。
• 利用伽罗瓦群在上同调上的作用来定义并约束理性 Tate 类。
• 建立在阿贝尔簇的态射下拉回与上推的函子性与相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限域上的阿贝尔簇上构建一个理性 Tate 类理论，使其在 Tate 猜想下模仿代数循环的性质？
• RQ2 这些理性 Tate 类是否满足与代数循环相同的函子性与对偶性？
• RQ3 在 étale 上同调中，理性 Tate 类与数值等价和同调等价有何关系？
• RQ4 当 Tate 猜想尚未被证明时，这些类在多大程度上可作为代数循环的可行替代？
• RQ5 理性 Tate 类从其底层阿贝尔簇及其伽罗瓦作用中继承了哪些结构性质？

主要发现

• 在有限域上的阿贝尔簇上，存在一个明确定义的理性 Tate 类理论，其满足在 Tate 猜想下预期的关键性质。
• 这些类在阿贝尔簇的态射下的拉回与上推下保持不变，确保了函子性。
• 该理论与循环类映射相容，并尊重上同调上的交积配对。
• 理性 Tate 类在伽罗瓦群作用下封闭，反映了其代数本质。
• 即使在全 Tate 猜想尚未被证明的情况下，该理论也提供了一个一致的框架来研究代数循环。
• 该构造类比于 Deligne 在特征零下关于理性 Hodge 类的理论，将他的方法扩展到了正特征情形。