[论文解读] Rational torsion on the generalized Jacobian of a modular curve with cuspidal modulus

Takao Yamazaki, Yifan Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文研究了当 $N = p^n$ 且 $p \geq 5$ 为素数时，模曲线 $X_0(N)$ 的广义雅可比簇 $J_0(N)$ 在尖点模下的有理扭子群。通过模单位和除子类群分析，本文表明 $J_0(p)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 是阶为 2 的循环群，而对于更高次幂，扭子群在 $6p$-扭子群范围内是平凡的，这与经典雅可比簇中较大的扭子群形成鲜明对比。主要贡献在于广义雅可比簇构造下有理扭子群的显著减小。

ABSTRACT

We consider the generalized Jacobian $\widetilde{J}_0(N)$ of a modular curve $X_0(N)$ with respect to a reduced divisor given by the sum of all cusps on it. When $N$ is a power of a prime $\geq 5$, we exhibit that the group of rational torsion points $\widetilde{J}_0(N)(\mathbb{Q})_{\mathrm{Tor}}$ tends to be much smaller than the classical Jacobian.

研究动机与目标

• 理解具有尖点模的模曲线的广义雅可比簇 $\widetilde{J}_0(N)$ 的有理扭子群结构。
• 比较广义雅可比簇 $\widetilde{J}_0(N)$ 与经典雅可比簇 $J_0(N)$ 的有理扭子群，特别是在 $N = p^n$，$p \geq 5$ 时的情况。
• 确定有理扭子群 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 是否与 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 相比显著更小，尤其是在已知猜想下。
• 分析模单位和除子类在控制广义雅可比簇中扭子群的作用。

提出的方法

• 作者使用由 $X_0(N)$ 上所有尖点之和 $C_0(N)$ 给出的模构造广义雅可比簇 $\widetilde{J}_0(N)$。
• 他们通过关联广义雅可比簇与经典雅可比簇及除子类群的正合列来分析有理扭点群。
• 该方法依赖于从主除子群 $\mathscr{P}(p^n)$ 到由模单位导出的格 $\Lambda \otimes \mathbb{Q}$ 的映射 $\Delta$ 的单射性。
• 他们应用 Takagi 公式计算当 $N = pq$，$p,q \equiv 1 \mod 12$ 时尖点除子类群 $\mathscr{C}(N)$ 的阶，以计算特定情况下的扭子群。
• 证明使用了模单位在尖点处的首项系数来计算除子类映射的像，并确定到 $J_0(N)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 的映射的核。
• 他们利用包含 $\widetilde{\Delta}$ 和 $\widetilde{\delta}$ 的交换图，证明 $\Delta$ 的余核单射地映射到 $\operatorname{Coker}(\widetilde{\Delta})$，从而界定了扭子群的阶。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数 $p \geq 5$，广义雅可比簇 $\widetilde{J}_0(p)$ 的有理扭子群与经典雅可比簇 $J_0(p)$ 的有理扭子群相比如何？
• RQ2 当 $N = p^n$，$p \geq 5$ 时，有理扭子群 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 是否显著小于 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$？
• RQ3 在假设 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$ 下，$\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 的结构是什么？
• RQ4 能否使用模单位及其除子类显式计算广义雅可比簇的扭子群？

主要发现

• 当 $N = p$ 且 $p \geq 5$ 为素数时，有理扭子群 $\widetilde{J}_0(p)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 是阶为 2 的循环群。
• 当 $N = p^n$ 且 $p \geq 5$，$p \not\equiv 11 \mod 12$ 时，广义雅可比簇的有理扭子群在 $2p$-扭子群范围内是平凡的。
• 若不假设 $p \not\equiv 11 \mod 12$，则有理扭子群在 $6p$-扭子群范围内是平凡的。
• 在猜想 $J_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}} = \mathscr{C}(p^n)$ 成立下，当 $n$ 为偶数时，扭子群 $\widetilde{J}_0(p^n)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 同构于 $\prod_{i=0}^{(n/2)-1} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z}) \times \prod_{i=1}^{n/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z})$。
• 当 $n$ 为奇数时，扭子群同构于 $\prod_{i=0}^{(n-1)/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z}) \times \prod_{i=1}^{(n-1)/2} \mathbb{Z}/(2p^i\mathbb{Z})$，表明其结构有序但较小。
• 当 $N = pq$ 且 $p,q \equiv 1 \mod 12$ 时，映射 $\mathscr{C}(pq) \to J_0(pq)(\mathbb{Q})_{\text{Tor}}$ 的核是阶为 $c = \frac{(p-1)(q-1)}{24}$ 的循环群，由 $D_1 - D_2 - D_3$ 的类生成。