[论文解读] Rational Tracer: a Tool for Faster Rational Function Reconstruction

Vitaly Magerya|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Parallel Computing and Optimization Techniques被引用 5

一句话总结

Rational Tracer (Ratracer) 通过将表达式追踪与求值解耦，利用优化的 C++ 追踪来减少 IBP 简化中的开销，从而加速高能物理中的有理函数重构。它相较于 Kira + FireFly 实现了最高 5 倍的加速，探测时间快 20 倍，通过消除数据结构管理并实现高效、可并行化的费曼积分系数重构。

ABSTRACT

Rational Tracer (Ratracer) is a tool to simplify complicated arithmetic expressions using modular arithmetics and rational function reconstruction, with the main idea of separating the construction of expressions (via tracing, i.e. recording the list of operations) and their subsequent evaluation during rational reconstruction. Ratracer can simplify arithmetic expressions (provided as text files), solutions of linear equation systems (specifically targeting Integration-by-Parts (IBP) relations between Feynman integrals), and even more generally: arbitrary sequences of rational operations, defined in C++ using the provided library ratracer.h. Any of these can also be automatically expanded into series prior to reconstruction. This paper describes the usage of Ratracer specifically focusing on IBP reduction, and demonstrates its performance benefits by comparing with Kira+FireFly and Fire6. Specifically, Ratracer achieves a typical ~10x probe time and ~5x overall time speedup over Kira+FireFly, and even higher if only a few terms in $\varepsilon$ need to be reconstructed.

研究动机与目标

• 解决传统求解器（如 Kira 和 FireFly）在 IBP 简化中因数据结构管理导致的性能瓶颈。
• 减少费曼积分有理函数重构过程中的中间表达式膨胀和计算开销。
• 通过将追踪生成与求值解耦，实现更快、可扩展的系数重构，从而支持高效的并行化。
• 提升高多重性、多尺度费曼积分计算（尤其是二、三圈级别）的性能。
• 提供一个模块化、可扩展的 C++ 库和命令行工具，用于高能物理工作流中的基于追踪的重构。

提出的方法

• Ratracer 在高斯消元过程中记录算术运算作为追踪，将结果存储为一系列模运算，而非维护复杂的数据结构。
• 它使用自定义二进制格式存储追踪，标记输出位置，以实现高效的内存布局和优化。
• 通过死代码消除、常量折叠、公共子表达式消除和内存布局重组对追踪进行优化。
• 通过将变量值设为模素数的整数或有理数来求值追踪，随后进行有理数重构。
• 系统支持部分输出的重构，并可通过在多台机器上分发输出子集实现并行化。
• 该方法可与现有 IBP 求解器（如 Kira 和 FireFly）集成，用更快的基于追踪的求值替换其重构阶段。

实验结果

研究问题

• RQ1 将追踪生成与求值解耦，是否能显著降低 IBP 简化中在有理函数重构方面的计算开销？
• RQ2 追踪优化和内存布局改进在多大程度上能加速高能物理计算中的模运算求值？
• RQ3 在总运行时间和探测效率方面，Ratracer 与 Kira + FireFly 和 Kira + Fermat 的性能相比如何？
• RQ4 将系数展开至 ε⁰ 会对重构速度和内存使用产生何种影响？
• RQ5 当探测时间被大幅缩短时，FireFly 中有理数重构的开销是否会成为性能瓶颈？

主要发现

• 与 Kira 相比，Ratracer 的探测时间最高可快 20 倍，显著降低了单次模求值的成本。
• 在具有挑战性的 IBP 简化任务中，总运行时间相比 Kira + FireFly 最快可提升 5 倍，尤其在如带质量五点二圈顶点图等困难情形下表现显著。
• 在某些基准测试中（如含两质量的三圈菱形图），由于探测频率过高，FireFly 的效率降至 3% 以下，表明重构开销已成为主导因素。
• 将系数展开至 O(ε⁰) 可带来 2.5–5.5 倍的加速，而展开至 O(ε¹) 可实现 1.4–4 倍加速，表明高阶展开具有明显优势。
• 在大多数情况下，Kira + Fermat 比 Kira + FireFly 更快，但在非平面盒图中，Fermat 的单进程瓶颈使其变慢。
• 该方法通过支持输出子集的独立重构，实现了高效的并行化，且通过死代码消除显著降低了每个输出的求值成本。