[论文解读] Ravello Lectures on Geometric Calculus - Part I

Jenny Harrison|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文提出了几何微积分（Geometric Calculus），一种无需坐标的框架，用巴拿赫空间中单纯形k-链的极限取代传统的切空间，通过‘自然范数’完备化，统一了光滑流形、分形与离散结构。由此产生的‘链芽’（chainlets）巴拿赫空间使得一种新的、更普遍的微积分成为可能，其应用涵盖斯托克斯定理、极小曲面及分形几何。

ABSTRACT

In these notes we present a new approach to calculus in which more efficient choices of limits are taken at key points of the development. For example, k-dimensional tangent spaces are replaced by representations of simple k-vectors supported in a point as limits of simplicial k-chains in a Banach space (much like Dirac monopoles). This subtle difference has powerful advantages that will be explored. Through these “infinitesimals”, we obtain a coordinate free theory on manifolds that builds upon the Cartan exterior calculus. An infinite array of approximating theories to the calculus of Newton and Lebiniz becomes available and we can now revisit old philosophical questions such as which models are most natural for the continuum or for physics. Within this new theory of Geometric Calculus are found the classical theory on smooth manifolds, as well as three distinct, new extensions. All three can be seen as part of the space of polyhedral chains completed with respect to what the author calls the “natural norm”. The author calls elements of the Banach space obtained upon completion “chainlets”. We take many viewpoints in mathematics and its applications, be it smooth manifolds, Lipschitz structures, polyhedra, fractals, finite elements, soap films, measures, numerical methods, etc. The choice sets the stage and determines our audience and our methods. No particular viewpoint is “right ” for all applications. The Banach space of chainlets unifies these viewpoints. (1) Discrete Calculus ∗ with convergence to the smooth continnuum, including more general theorems of Stokes, Green and Gauss. (2) Bilayer Calculus with applications to the calculus of variations including Plateau’s problem (soap bubbles). (3) Calculus on Fractals Some aspects of this are contained in the paper [10] and slides prepared for the Caltech meeting in October, 2003 on Discrete Geometry for Mechanics are available on line at

研究动机与目标

• 开发一种新的微积分基础，超越传统在流形上的坐标依赖方法。
• 在单一分析框架下统一各类几何结构——光滑流形、利普希茨映射、多面体、分形与有限元。
• 通过在多面体链上引入自然范数，解决关于连续统与物理模型的奠基性问题。
• 将经典定理（如斯托克斯、格林与高斯定理）推广至更广泛的几何空间，包括非光滑与奇异区域。
• 为微积分提供一个严格且无限维的设定，以容纳离散逼近与向光滑连续统的极限。

提出的方法

• 通过巴拿赫空间中单纯形k-链的极限来表示k维切空间，灵感源自狄拉克单极子。
• 在多面体链空间上定义‘自然范数’，以实现向‘链芽’巴拿赫空间的完备化。
• 在链芽上构建无需坐标的外微分计算，将嘉当理论推广至包含非光滑与奇异对象的情形。
• 利用多面体链在自然范数下的完备化，统一离散、双层与分形微积分框架。
• 将理论应用于三个扩展：离散微积分（收敛于光滑连续统）、双层微积分（用于变分问题）以及分形上的微积分。
• 利用巴拿赫空间结构，以保持关键定理在各种几何设定下一致的方式定义积分与微分。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非光滑或奇异的几何对象（如分形或肥皂膜）而言，定义微积分的最自然方式是什么？
• RQ2 经典定理（如斯托克斯、格林与高斯定理）如何推广至包含非光滑与非可定向区域的情形？
• RQ3 能否构建一个单一、统一的微积分框架，涵盖光滑流形、离散逼近与分形几何？
• RQ4 多面体链上的‘自然范数’在定义几何微积分一致极限过程中的作用是什么？
• RQ5 在链芽框架下，不同几何视角（如利普希茨结构、有限元或测度）之间有何关联？

主要发现

• 在‘自然范数’下对多面体链进行完备化，可得到一个统一多种几何与分析结构的‘链芽’巴拿赫空间。
• 该理论提供了一种无需坐标的外微分计算，将嘉当框架推广至包含非光滑与奇异对象的情形。
• 经典定理（如斯托克斯、格林与高斯定理）被推广至经典光滑性假设不成立的设定中。
• 离散微积分为链芽的极限，提供向光滑连续统收敛的机制，并产生经典定理的更一般形式。
• 提出双层微积分为求解变分问题（包括肥皂膜的普莱特问题）的新框架。
• 在链芽框架下，分形上的微积分为严格化，使得在非整数维集合上实现积分与微分成为可能。