[论文解读] Ray-Knight theorems for the local times of rebirthed Markov processes

P. J. Fitzsimmons, Jay Rosen|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2026

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一句话总结

本论文将第一、第二 Ray-Knight 定理推广至一类广义的非对称再再生马尔可夫过程，将局部时间与高斯过程的平方联系起来，并推导出精确的连续性模糊度。

ABSTRACT

We prove generalizations of the first and second Ray-Knight theorems, for a large class of non-symmetric strong Markov processes. These results link the local times of the Markov process with the squares of associated Gaussian processes. This connection allows us to establish results about the exact modulus of continuity (in the spatial variable) of the local times. Our approach is different from earlier treatments which were based on associated permanental processes rather than Gaussian processes. The type of process with which we work can be described as follows. Start with a symmetric Markov process with finite lifetime; upon its death resurrect it at a place in the state space chosen at random, independent of the past. Continue in this way, resurrecting at each death, to obtain a recurrent process. The rebirthing procedure destroys the symmetry of the original process, leading to a large class of non-symmetric processes. The main results are illustrated by many examples.

研究动机与目标

• 为非对称再再生马尔可夫过程建立并动机化 Ray-Knight-type 结果。
• 将第一和第二 Ray-Knight 定理推广到在死亡后随机复活对称过程所产生的过程。
• 在这一再生框架中刻画停止时刻与逆局部时间的局部时间。
• 推导局部时间在空间变量上的精确连续性模量，并给出示例说明。

提出的方法

• 从具有有限寿命和再生度量 mu 的瞬态对称过程出发定义再再生马尔可夫过程。
• 利用 (1.2)–(1.3) 将非对称的 p-势密度 w^p(x,y) 表示为对称的 u^p 与 mu 的关系。
• 利用 Eisenbaum 同构（定理 2.2）将再再生过程的局部时间与协方差为 u^0 与 ~u^0 的高斯过程联系起来。
• 利用高斯平方证明广义的一阶 Ray-Knight 定理对 L^x_{T_0} 及其在空间变量上的模量连续性。
• 针对 T_0、T_0^-、以及 T^-_0 的不同情形进行案例分析，包括基底 Y 命中零点或在命中零点前被杀死的情况（引理 2.1、2.2、2.5）。
• 推广至广义的二阶 Ray-Knight 定理，对 L^x_{\tau(t)} 的平方和高斯过程相关项也给出结果（引理 4.1 与 定理 4.2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的 Ray-Knight 定理推广到再再生（非对称）马尔可夫过程？
• RQ2 再再生过程的局部时间与高斯过程平方之间存在哪些联系？
• RQ3 是否能够在随机时间点（如 T_0、T_0^-、逆局部时间）获得局部时间的精确连续性模量？
• RQ4 不同的再生机制（通过远离 0 的再生度量 mu）如何影响结果及其应用？
• RQ5 有哪些具体示例（扩散过程、 Lévy 过程）可以说明推广定理？

主要发现

• 在非对称再再生设置下建立了局部时间 \tilde{L}^x_{\tilde{T}_0} 的广义一阶 Ray-Knight 定理，其表达为高斯过程平方的形式。
• 在远离 0 的再生构造下，给出了 \tilde{L}^x_{T_0} 在空间变量上的精确模量连续性。
• 给出了 Y 不命中 0 的情形（通过 \tilde{T}_0^{-}）的一阶 Ray-Knight 广义定理及相应的模量结果。
• 给出了局部时间 \tilde{L}^x_{\tilde{\tau}(t)} 的广义二阶 Ray-Knight 定理，该定理亦涉及高斯平方。
• 提供了多组示例，包括指数杀死的扩散过程和 Lévy 过程，以说明定理的适用性。
• 将局部时间与高斯过程之间的联系扩展到超越先前工作中使用的持续性（permanental）方法。