[论文解读] Reach-Avoid Problems via Sum-of-Squares Optimization and Dynamic Programming

Benoit Landry, Mo Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2018

Advanced Control Systems Optimization参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种平方和（SOS）优化与动态规划相结合的方法，用于计算可达-规避集并合成反馈控制器，以确保系统能够到达目标集的同时避开危险状态。该方法可实现对多项式动力学系统的6D可达-规避集的可扩展计算，即使在对抗性扰动下也能提供形式化安全保证，并在运动学汽车模型上验证了其性能。

ABSTRACT

Reach-avoid problems involve driving a system to a set of desirable configurations while keeping it away from undesirable ones. Providing mathematical guarantees for such scenarios is challenging but have numerous potential practical applications. Due to the challenges, analysis of reach-avoid problems involves making trade-offs between generality of system dynamics, generality of problem setups, optimality of solutions, and computational complexity. In this paper, we combine sum-of-squares optimization and dynamic programming to address the reach-avoid problem, and provide a conservative solution that maintains reaching and avoidance guarantees. Our method is applicable to polynomial system dynamics and to general problem setups, and is more computationally scalable than previous related methods. Through a numerical example involving two single integrators, we validate our proposed theory and compare our method to Hamilton-Jacobi reachability. Having validated our theory, we demonstrate the computational scalability of our method by computing the reach-avoid set of a system involving two kinematic cars.

研究动机与目标

• 解决在对抗性扰动下，对高维系统进行可达-规避集计算并提供形式化安全保证的挑战。
• 在保持多项式动力学和任意问题设置通用性的同时，降低可达-规避分析的计算复杂度。
• 开发一种可扩展的、保守的反馈控制器综合方法，确保系统能够到达目标集同时避开危险状态。
• 使可达-规避控制方法能够应用于传统Hamilton-Jacobi方法6D限制之外的系统。
• 将平方和优化与动态规划相结合，以在最优性与计算可行性之间进行权衡。

提出的方法

• 该方法将可达-规避问题表述为基于离散时间步长的动态规划递推，价值函数通过平方和（SOS）多项式定义。
• 利用SOS规划强制执行类似李雅普诺夫的条件，以确保规避集的不变性以及目标集的可达性。
• 该方法涉及求解由SOS约束导出的半定规划问题，以找到有界次数的多项式控制器和价值函数。
• 对动态规划递推应用时间离散化，并使用切比雪夫多项式展开近似状态空间中的三角函数项。
• 控制器被合成为空间反馈策略，可被证明对任何扰动策略（包括最坏情况的对抗性动作）具有鲁棒性。
• 通过调整松弛参数和收敛容差等超参数，平衡保守性与计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 平方和优化能否有效与动态规划结合，用于高维系统的可达-规避集计算？
• RQ2 与Hamilton-Jacobi可达性方法相比，该方法在6D系统上的计算可扩展性和保守性如何？
• RQ3 多项式系统动力学在多大程度上可通过切比雪夫展开近似，以支持SOS分析？
• RQ4 该方法能否为动态障碍环境中的运动学车辆生成形式化保证的反馈控制器？
• RQ5 在SOS-based可达-规避集计算中，解的保守性与计算可行性之间的权衡如何？

主要发现

• 该方法成功计算了具有多项式动力学的两辆运动学汽车的6D可达-规避集，这一领域此前在标准Hamilton-Jacobi方法下不可行。
• 计算得到的可达-规避集具有保守性，但形式化保证攻击者无论采取何种防御者策略，均能到达目标而不与防御者发生碰撞。
• 仿真结果表明，所有起始于计算得到的可达-规避集内的轨迹均能成功到达目标，且不违反规避约束。
• 计算在标准台式机（AMD Ryzen 7 1800X，32GB RAM）上耗时约4小时，使用Spotless工具箱和MOSEK求解器。
• 通过在类似李雅普诺夫函数和控制器多项式上施加SOS约束，该方法实现了形式化安全保证。
• 该方法对任意扰动策略具有鲁棒性，通过测试防御者以固定方向最大化速度得到验证。