[论文解读] Reachability analysis of first-order definable pushdown systems

Lorenzo Clemente, Sławomir Lasota|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2015

semigroups and automata theory参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文提出了在可数无限结构（称为原子）上的首阶可定义下推系统（FO-definable PDS），实现了对具有无限控制状态和栈字母表的系统进行可达性分析。通过符号饱和技术，该方法在寡态原子上建立了有效的正则性保持性，并为同质原子提供了ExpTime复杂度界，从而统一并推广了已知的下推寄存器自动机及其他无限字母表模型的结果。

ABSTRACT

We study pushdown systems where control states, stack alphabet, and transition relation, instead of being finite, are first-order definable in a fixed countably-infinite structure. We show that the reachability analysis can be addressed with the well-known saturation technique for the wide class of oligomorphic structures. Moreover, for the more restrictive homogeneous structures, we are able to give concrete complexity upper bounds. We show ample applicability of our technique by presenting several concrete examples of homogeneous structures, subsuming, with optimal complexity, known results from the literature. We show that infinitely many such examples of homogeneous structures can be obtained with the classical wreath product construction.

研究动机与目标

• 将经典的下推系统可达性扩展至使用可数无限结构上首阶可定义集合的无限字母表。
• 将饱和技术推广至具有无限控制状态和栈字母表的系统，以支持可达性分析。
• 为同质原子上的FO-definable PDS可达性问题提供精确的复杂度界。
• 在单一逻辑框架下统一并推广已知的无限状态下推模型的可判定类。
• 通过包括具有顺序、等价关系及嵌套关系的数据模型在内的多样化示例，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 将标准下推系统重新解释为在固定可数无限结构（即原子）上的首阶可定义集合，用可定义集合替代有限集合。
• 符号化应用经典饱和算法，利用寡态结构的轨道有限性，确保正则性保持的有效性。
• 利用自同构不变性与可定义性，无需显式枚举无限配置即可模拟可达性步骤。
• 采用半直积构造方法，从已有结构生成新的同质结构，同时保持可判定性与复杂度性质。
• 将诱导子结构问题约化为各分量结构上的子问题，从而在同质情况下实现PTime检查。
• 通过约化至诱导子结构问题及Fraïssé极限的已知结果，建立复杂度界。

实验结果

研究问题

• RQ1 饱和技术能否被推广以处理控制状态和栈符号为无限结构上首阶可定义的无限状态下推系统？
• RQ2 底层原子结构的何种结构性质可确保FO-definable PDS在反向可达性中实现有效的正则性保持？
• RQ3 在同质原子上，FO-definable PDS的可达性问题的精确复杂度是多少？能否实现紧致的复杂度界？
• RQ4 哪些自然的无限字母表模型（如具有顺序、等价或嵌套关系的数据词）可在此框架中以最优复杂度捕获？
• RQ5 半直积构造能否生成无穷多个新的同质结构，使得可达性保持可判定且复杂度已知？

主要发现

• 在寡态原子上，FO-definable PDS的正则性保持是有效的，饱和方法提供了一种符号化、正确且有效的方法。
• 对于同质原子，FO-definable PDS的可达性问题属于ExpTime，与等价原子上的已知紧致复杂度一致。
• 该框架捕获并推广了已知模型，包括在等价原子上的下推寄存器自动机，且复杂度最优。
• 普遍图、普遍竞赛图和普遍偏序原子均为同质结构，且支持ExpTime可达性，扩展了可判定无限状态模型的范围。
• 半直积构造从基本结构生成无穷多个新的可处理同质结构，同时保持ExpTime复杂度界。
• 在寡态原子上，FO-definable PDA与FO-definable CFG定义相同的语言类，且该语言类对标准语言理论操作封闭。