[论文解读] Reachability Analysis Using Hybrid Zonotopes and Functional Decomposition

Jacob A. Siefert, Trevor J. Bird+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2023

Robotic Mechanisms and Dynamics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于混合zono拓扑、函数分解和状态更新集的可扩展可达性分析方法，实现了内存和计算复杂度的线性增长。通过将高维非线性函数分解为低维分量，并高效地将多面体集合转换为混合zono拓扑，该方法能够在闭环神经网络控制器和高维逻辑系统中实现对可达集的紧密过近似，相较于先前方法实现17倍的加速。

ABSTRACT

This paper proposes methods for reachability analysis of nonlinear systems in both open loop and closed loop with advanced controllers. The methods combine hybrid zonotopes, a construct called a state-update set, functional decomposition, and special ordered set approximations to enable linear growth in reachable set memory complexity with time and linear scaling in computational complexity with the system dimension. Facilitating this combination are new identities for constructing nonconvex sets that contain nonlinear functions and for efficiently converting a collection of polytopes from vertex representation to hybrid zonotope representation. Benchmark numerical examples from the literature demonstrate the proposed methods and provide comparison to state-of-the-art techniques.

研究动机与目标

• 解决由于非凸性导致的非线性系统可达性分析的可扩展性限制及其指数级复杂度增长问题。
• 实现闭环先进控制器（包括神经网络）下可达集的高效计算。
• 通过新型集合表示和分解技术，将内存和计算复杂度降低至随时间与状态维度线性增长。
• 为非线性动力学系统提供一种通用且高效的开环与闭环状态更新集构建方法。
• 在连续时间非线性系统和高维逻辑系统上均验证其可扩展性。

提出的方法

• 该方法利用函数分解将多变量非线性函数降维为单变量或双变量分量，避免维度灾难。
• 提出一种新恒等式，用于构建包含一般非线性函数的混合zono拓扑，从而实现对非线性动力学的高效过近似。
• 采用状态更新集表示来建模系统动力学，闭环集合通过组合开环状态更新集与状态-输入映射构成。
• 提出一种新颖的转换恒等式，将顶点表示的多面体转换为混合zono拓扑，提升了集合表示的效率。
• 每隔三个时间步进行一次周期性过近似，以控制内存复杂度，同时保持可达集的紧密包含。
• 采用支持函数采样作为全可视化成本的低开销替代方案，用于验证包含关系和性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 函数分解能否实现高维非线性系统可达性分析的可扩展性，使内存和计算复杂度保持线性增长？
• RQ2 如何利用混合zono拓扑高效表示并传播包含非线性函数的集合？
• RQ3 与现有方法相比，使用函数分解和混合zono拓扑在神经网络控制器系统中能带来多大的性能提升？
• RQ4 所提方法能否在高维逻辑系统中维持紧密的过近似，同时降低内存复杂度？
• RQ5 对于具有60个状态和60个输入的系统，该方法在计算时间和内存增长方面的扩展性如何？

主要发现

• 在高维逻辑系统中，该方法将计算时间从150秒（逻辑zono拓扑）减少至9秒，实现了17倍的加速，得益于混合zono拓扑和函数分解。
• 对于闭环神经网络控制器的连续时间非线性系统，每时间步的平均计算时间仅为5毫秒，且可达集的过近似非常紧密。
• 内存复杂度随时间呈线性增长，每隔三个时间步进行一次周期性过近似，有效降低了峰值复杂度，并保持了可达集的包含性。
• 在轴对齐方向上进行支持函数采样，15个时间步仅耗时34秒，不足全可视化所需时间（7378秒）的0.5%。
• 定理3的包含条件在每个时间步均被满足，证实了过近似的正确性。
• 该方法实现了内存和计算复杂度随时间的线性增长，使其适用于长时间 horizon 的可达性分析。