[论文解读] Reachability and liveness in parametric timed automata

Étienne André, Didier Lime+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Formal Methods in Verification参考文献 37被引用 3

一句话总结

该论文在一类新的参数时序自动机（PTA）子类——有界整数点PTA（bIP-PTA）中建立了参数可达性空问题的可判定性，该子类的参数为有理数值且被限制在有界域内的整数点。此外，论文证明了有界L/U-PTA中生存性性质的P空间完全性，同时表明死锁自由性和某些生存性条件仍为不可判定，从而精确界定了参数时序系统中可判定与不可判定问题之间的边界。

ABSTRACT

We study timed systems in which some timing features are unknown parameters. Parametric timed automata (PTAs) are a classical formalism for such systems but for which most interesting problems are undecidable. Notably, the parametric reachability emptiness problem, i.e., the emptiness of the parameter valuations set allowing to reach some given discrete state, is undecidable. Lower-bound/upper-bound parametric timed automata (L/U-PTAs) achieve decidability for reachability properties by enforcing a separation of parameters used as upper bounds in the automaton constraints, and those used as lower bounds. In this paper, we first study reachability. We exhibit a subclass of PTAs (namely integer-points PTAs) with bounded rational-valued parameters for which the parametric reachability emptiness problem is decidable. Using this class, we present further results improving the boundary between decidability and undecidability for PTAs and their subclasses such as L/U-PTAs. We then study liveness. We prove that: (1) deciding the existence of at least one parameter valuation for which there exists an infinite run in an L/U-PTA is PSpace-complete; (2) the existence of a parameter valuation such that the system has a deadlock is however undecidable; (3) the problem of the existence of a valuation for which a run remains in a given set of locations exhibits a very thin border between decidability and undecidability.

研究动机与目标

• 识别参数时序自动机（PTA）的新语法子类，使得参数可达性空问题可判定。
• 细化PTA中可达性与生存性问题的可判定性与不可判定性边界的划分。
• 解决关于L/U-PTA中生存性性质（如无限运行的存在性与死锁）可判定性的开放问题。
• 引入并分析有界整数点PTA（bIP-PTA）子类，作为已知可判定类（如L/U-PTA）的严格扩展。
• 探讨参数域拓扑结构（特别是闭、开与无界超矩形）对生存性性质可判定性的影响。

提出的方法

• 引入有界整数点PTA（bIP-PTA），即参数为有理数值且在有界域内被限制于整数点的PTA子类。
• 采用一种新颖的证明技术，表明即使在一般PTA中该问题不可判定，参数可达性空问题在bIP-PTA中仍是可判定的。
• 应用一般PTA中单个有界有理数值参数与非严格约束的不可判定性证明的修改版本，以建立精确的边界。
• 分析参数域的拓扑结构（闭、开、有界、无界），以确定无限运行与死锁等生存性性质的可判定性。
• 通过将问题归约至已知的P空间完全问题，证明有界L/U-PTA中无限运行存在的问题为P空间完全。
• 通过从一般PTA中的不可判定问题归约，证明死锁自由性与某些生存性条件的不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于超越L/U-PTA的新PTA子类，参数可达性空问题是否可判定？
• RQ2 在参数时序自动机中，可达性与生存性问题的可判定性与不可判定性之间的精确边界是什么？
• RQ3 能否判定L/U-PTA中存在无限运行的问题？其时间复杂度如何？
• RQ4 L/U-PTA中死锁存在性问题是否可判定？其依赖于参数域的何种特性？
• RQ5 当参数域被限制为闭的有界超矩形时，是否能实现生存性性质（如EG：最终始终停留在一组位置）的可判定性？

主要发现

• 有界整数点PTA（bIP-PTA）的参数可达性空问题可判定，该子类是PTA的新子类，且与L/U-PTA不可比较。
• 在L/U-PTA中，存在至少一个参数取值使得运行可无限进行的问题为P空间完全。
• 在L/U-PTA中，存在一个参数取值导致死锁的问题为不可判定。
• 存在一个参数取值使得运行始终停留在给定位置集合中的问题不可判定，但当限制为闭域或无界域中的无限路径（环）时，该问题变为可判定。
• EG生存性性质（存在一条最大路径始终停留在一组位置）仅在参数域为闭且有界超矩形时可判定；在开域或无界域中则变为不可判定。
• 对于非整数参数的L-PTA与U-PTA，EF-合成问题仍为不可判定，目前仅有两个已知的可判定子类：整数值L-PTA与有界重置PTA。