[论文解读] Reachability of Black-Box Nonlinear Systems after Koopman Operator Linearization

Stanley Bak, Sergiy Bogomolov+3 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文提出了首个针对通过Koopman算子线性化转换的非线性系统的可达性分析算法，该方法将非线性动力学映射为高维线性系统，并带有非线性初始状态约束。通过结合超平行体过近似、区间分析以及抽象-精化技术（如超平面反向传播和超平行体域分割），该方法实现了对黑箱系统的可扩展验证，在多个基准测试中优于现有工具。

ABSTRACT

Reachability analysis of nonlinear dynamical systems is a challenging and computationally expensive task. Computing the reachable states for linear systems, in contrast, can often be done efficiently in high dimensions. In this paper, we explore verification methods that leverage a connection between these two classes of systems based on the concept of the Koopman operator. The Koopman operator links the behaviors of a nonlinear system to a linear system embedded in a higher dimensional space, with an additional set of so-called observable variables. Although, the new dynamical system has linear differential equations, the set of initial states is defined with nonlinear constraints. For this reason, existing approaches for linear systems reachability cannot be used directly. In this paper, we propose the first reachability algorithm that deals with this unexplored type of reachability problem. Our evaluation examines several optimizations, and shows the proposed workflow is a promising avenue for verifying behaviors of nonlinear systems.

研究动机与目标

• 为解决非线性动力系统中可达性分析的挑战，该挑战在信息物理系统的形式化验证中计算成本高昂且常成为瓶颈。
• 通过数据驱动的Koopman算子线性化，实现对黑箱非线性系统的验证，该方法将非线性动力学转换为高维线性系统。
• 开发一种新型可达性算法，以解决基于Koopman分析中的关键障碍：在高维线性动力系统中处理非线性初始状态集合约束。
• 通过针对Koopman框架定制的过近似和抽象-精化技术，提升可达性分析的效率与可扩展性。
• 在标准非线性基准系统上评估所提方法，并与现有成熟可达性工具进行性能对比。

提出的方法

• 该方法使用Koopman算子线性化，将非线性系统嵌入更高维空间，其中可观测变量为原始状态的非线性函数，且满足线性微分方程。
• 初始状态集合以非线性约束形式表示（例如原始空间中的凸多面体），并通过区间分析构建的超平行体进行过近似，以支持高效的线性可达性计算。
• 直接编码算法利用非线性SMT求解器强制执行初始状态约束，作为正确性基线，尽管其运行缓慢且可能存在不可判定性。
• 引入两种抽象-精化技术：超平面反向传播，通过Koopman系统反向传播约束以精化过近似；超平行体域分割，递归分割超平行体过近似以减少保守性。
• 该方法结合了可扩展的线性可达性分析与非线性约束处理，实现了对仅提供输入-输出数据的黑箱系统的验证。
• 通过在基准非线性系统上进行流管计算评估该框架，性能指标包括可达性时间与过近似质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 Koopman算子线性化能否用于实现对具有非线性初始状态约束的黑箱非线性系统的可扩展可达性分析？
• RQ2 现有线性可达性算法如何适配以处理由Koopman线性化产生的非线性初始集合？
• RQ3 在Koopman基可达性分析中，哪些有效的过近似与抽象-精化策略能有效减少保守性并提升性能？
• RQ4 所提方法在标准非线性基准测试中与现有成熟可达性工具相比，在性能与准确性方面表现如何？
• RQ5 数据驱动的Koopman模型能否实现对仅提供输入-输出轨迹的系统的验证？

主要发现

• 所提方法成功计算了具有非线性初始约束的Koopman线性化系统的可达集，首次解决了此前未被探索的可达性问题。
• 在Roessler系统上，通过优化将可达性时间从基线SMT的181.06秒降低至9.53秒，实现19倍加速。
• 在Chen系统上，最佳优化配置下实现10倍加速（从285.20秒降至18.52秒），展现出强大的可扩展性。
• 超平行体域分割与超平面反向传播技术显著降低了过近似误差，并提升了所有基准测试的运行效率。
• 该方法在多个系统上优于成熟可达性工具，表明其在现实信息物理系统验证中具有强大的实际可行性。
• 该方法仅依赖数据驱动的Koopman模型即可实现对黑箱系统的验证，将可达性分析扩展至不具有已知微分方程的系统。