[论文解读] Real and complex unbiased Hadamard matrices

Máté Matolcsi, Imre Z. Ruzsa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文利用组合与傅里叶分析技术，证明在任意维数下，一个完整的互为 unbiased 的复 Hadamard 矩阵系统（MUH）最多只能包含一个实 Hadamard 矩阵。文章提供了关于 6 维中 Fourier 矩阵 $F_6$ 无法属于完整 MUH 系统的全新非计算机辅助证明，该证明基于正交性约束及傅里叶域中向量和导出的多项式恒等式。

ABSTRACT

We use combinatorial and Fourier analytic arguments to prove various non-existence results on systems of real and complex unbiased Hadamard matrices. In particular, we prove that a complete system of complex mutually unbiased Hadamard matrices (MUHs) in any dimension $d$ cannot contain more than one real Hadamard matrix. We also give new proofs of several known structural results in low dimensions, for $d\le 6$.

研究动机与目标

• 建立低维互为 unbiased 的 Hadamard 矩阵系统（MUH）的结构性质与非存在性结果。
• 解决 6 维中完整 MUH 系统是否可包含 Fourier 矩阵 $F_6$ 的开放问题。
• 证明在任意维数下，完整 MUH 系统不可能包含超过一个实 Hadamard 矩阵。
• 为 6 维中 $F_6$ 不属于完整 MUH 系统提供全新非计算机辅助证明。
• 探讨假设在推导完整 MUH 系统中未知列向量约束时的作用。

提出的方法

• 利用离散傅里叶分析研究与整数向量 $\gamma_k \in \mathbb{Z}^d$ 相关的向量和 $\mathbf{v}(\gamma_k)$。
• 利用 $\mathbf{v}(\gamma_k)$ 向量的正交性，推导出 $\|\mathbf{w}\|^2 = \sum |\mathbf{v}(\gamma_k)|^2$，其中 $\mathbf{w} = \sum \mathbf{v}(\gamma_k)$，从而获得范数约束。
• 利用已知列向量（如 $F_6$ 中的列）固定 $\mathbf{w}$ 的初始坐标，进而推导出其余坐标必须为零。
• 从剩余坐标的消失导出多项式恒等式，对未知列向量的元素施加代数约束。
• 通过索引集的循环置换生成对列向量的多个独立约束，导致矛盾。
• 利用猜想 2.3（关于 $\mathbb{Z}_6^6$ 上函数的傅里叶变换行为）将论证扩展至 $F_6$ 情况，假设其成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维数为 $d$ 的 $d+1$ 个互为 unbiased 的 Hadamard 矩阵的完整系统中，是否可能包含超过一个实 Hadamard 矩阵？
• RQ2 $F_6$ 是否属于 6 维中任何完整 MUH 系统？
• RQ3 能否在不依赖大量计算机代数运算的情况下，证明 6 维中完整 MUH 系统的非存在性？
• RQ4 在 MUH 背景下，结合多个傅里叶分析向量和时，会产生何种代数约束？
• RQ5 由正交性与范数约束导出的多项式恒等式，如何导致未知列向量结构中的矛盾？

主要发现

• 在任意维数 $d$ 下，完整 MUH 系统最多只能包含一个实 Hadamard 矩阵。
• 向量和 $\mathbf{w} = \sum_{k=1}^6 \mathbf{v}(\gamma_k)$ 的范数恰好为 216，且该范数由前六个坐标完全饱和，强制其余所有坐标为零。
• 向量 $\mathbf{w}$ 的最后 30 个坐标消失，导出多项式恒等式 $z_2 z_5^2 = z_1^2 z_4$，该式对 $H_2, \dots, H_6$ 中未知列向量的元素施加约束。
• 通过循环对称性，导出第二个恒等式 $z_5 z_2^2 = z_4^2 z_1$，其比值关系表明 $z_5 / z_2 = z_1 / z_4$，与 $\mathbf{v}(0,-1,0,0,1,0)$ 和 $\mathbf{v}(1,0,0,-1,0,0)$ 的正交性矛盾。
• 在 $F_6$ 情况下，使用 12 个向量 $\gamma_k$ 可得 $\|\mathbf{w}\|^2 = 432$，其中 3 个坐标模长为 12，强制其余 33 个坐标消失，并生成冲突的多项式约束。
• 证明 $F_6$ 不属于完整系统依赖于猜想 2.3，若其成立，则可确保计算范数所需的关键 $\mathbf{v}(\gamma_k)$ 向量之间的正交性。