[论文解读] Real Gromov-Witten Theory in All Genera and Real Enumerative Geometry: Properties

Penka Georgieva, Aleksey Zinger|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本文建立了奇复维数的实定向殆复流形上所有亏格的实Gromov-Witten不变量的基础性质。证明了实映射模空间上的典范定向与标准节点识别浸入之间存在反兼容性，这是关键的结构性结果，为枚举几何与可积系统中的应用提供了支持。

ABSTRACT

The first part of this work constructs positive-genus real Gromov-Witten invariants of real-orientable symplectic manifolds of odd "complex" dimensions; the present part focuses on their properties that are essential for actually working with these invariants. We determine the compatibility of the orientations on the moduli spaces of real maps constructed in the first part with the standard node-identifying immersion of Gromov-Witten theory. We also compare these orientations with alternative ways of orienting the moduli spaces of real maps that are available in special cases. In a sequel, we use the properties established in this paper to compare real Gromov-Witten and enumerative invariants, to describe equivariant localization data that computes the real Gromov-Witten invariants of odd-dimensional projective spaces, and to establish vanishing results for these invariants in the spirit of Walcher's predictions.

研究动机与目标

• 在Gromov-Witten理论中，建立实映射模空间上典范定向与标准节点识别浸入之间的相容性。
• 在特殊情形下，比较典范实定向与复、自旋及相对自旋定向。
• 为后续工作中计算实Gromov-Witten不变量并证明消失定理提供技术基础。
• 阐明实曲线退化过程中定向的行为，特别是节点处的行为。
• 解决奇亏格实Gromov-Witten理论中奇维数实定向殆复流形的定向歧义问题。

提出的方法

• 通过目标流形上的实定向数据，在实J-全纯映射的模空间上构造典范定向。
• 利用行列式线丛与实丛对，定义实与复行列式丛之间的典范同构。
• 应用节点识别浸入，将实映射模空间的定向与Gromov-Witten理论中的环境空间定向联系起来。
• 通过行列式丛之间的同构比较定向，特别分析了同构(4.41)的影响，该同构被证明是定向反转的。
• 利用行列式丛的张量积与典范同构，关联光滑曲线与节点曲线上的定向。
• 使用典范同构(4.47)及其与(4.50)的复合，比较模空间在节点平滑化前后的实映射定向。

实验结果

研究问题

• RQ1 实映射模空间上的典范定向如何与Gromov-Witten理论中的标准节点识别浸入相关联？
• RQ2 在特殊情形下，实定向与复、自旋及相对自旋定向的相容性如何？
• RQ3 实曲线退化时，定向行为如何变化，特别是在共轭节点对处？
• RQ4 同构(4.41)对定向符号有何影响，它如何影响整体定向比较？
• RQ5 当复维数为奇数时，实定向以何种方式在实映射模空间上诱导出一致的定向？

主要发现

• 实映射模空间上的典范定向与节点识别浸入之间存在反兼容性，由同构复合为定向反转所证明。
• 源于节点退化的同构(4.41)是定向反转的，这是反兼容性的关键原因。
• 同构(4.47)在行列式丛之间诱导出典范同构，且尊重实定向结构。
• 与复、自旋及相对自旋结构的定向比较在这些结构存在的情况下是一致且明确定义的。
• 当复维数为偶数时，定向行为在节点重排下保持不变，但在奇维数情形下，反兼容性仍为显著特征。
• 这些结果为后续工作中计算实Gromov-Witten不变量并证明消失定理提供了严格基础，包括与Walcher预测相关的工作。