[论文解读] Real Mutually Unbiased Bases

P. Oscar Boykin, Meera Sitharam+2 more|ArXiv.org|Feb 3, 2005

Mathematical Approximation and Integration参考文献 16被引用 31

一句话总结

本文建立了实希尔伯特空间中实相互 unbiased 基（MUBs）最大数量的紧致界，表明在大多数维度下，最优数量至多为 2 或 3。通过初等线性代数方法，结合 Hadamard 矩阵与组合设计的关系，本文以一种更简单的方式证明了 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$，替代了先前依赖极值集合论的结果，并表明某些实 MUB 集无法扩展为最优的复或实 MUB 集，从而挑战了‘极大集即最优’的假设。

ABSTRACT

We tabulate bounds on the optimal number of mutually unbiased bases in R^d. For most dimensions d, it can be shown with relatively simple methods that either there are no real orthonormal bases that are mutually unbiased or the optimal number is at most either 2 or 3. We discuss the limitations of these methods when applied to all dimensions, shedding some light on the difficulty of obtaining tight bounds for the remaining dimensions that have the form d=16n^2, where n can be any number. We additionally give a simpler, alternative proof that there can be at most d/2+1 real mutually unbiased bases in dimension d instead of invoking the known results on extremal Euclidean line sets by Cameron and Seidel, Delsarte, and Calderbank et al.

研究动机与目标

• 确定所有维度 $d$ 下实相互 unbiased 基（MUBs）在 $\mathbb{R}^d$ 中最大数量的紧致上下界。
• 解决当维度不能被四整除或非完全平方时实 MUB 的结构问题，此时初等方法可导出紧致界。
• 提供一种更简单、自包含的证明，以证明已知的上界 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$，而无需依赖高级极值集合论。
• 研究极大实 MUB 集是否可扩展为最优 MUB 集，从而挑战‘极大性即最优性’的假设。

提出的方法

• 采用一种规范形式，将一个基固定为标准基，从而将问题简化为构造 entries 属于 $\{-1,1\}$ 且缩放因子为 $1/\sqrt{d}$ 的正交矩阵，即 Hadamard 矩阵。
• 应用初等数论论证，证明当 $4 \nmid d$ 时 $M_{\mathbb{R}^d} = 1$，因为此时不存在大小为 $d$ 的 Hadamard 矩阵。
• 利用相互正交拉丁方（MOLS）和 $(s+1,s)$-网的关系，推导出当 $d = 4^i s^2$ 且 $s$ 为奇数、$i > 1$ 时的下界，表明 $M_{\mathbb{R}^d} \geq \text{MOLS}(2^i s) + 2$。
• 提供一种替代证明，利用组合设计的关联向量与线性代数方法，证明上界 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$，避免使用 Cameron 和 Seidel 或 Delsarte 的深刻结果。
• 利用 $(s+1,s)$-网的关联向量结构，证明任何与 $s+1$ 个拉丁 MUBs 均正交的新基，其 entries 必须具有相等的模长，从而暗示广义 Hadamard 矩阵的存在。
• 通过反证法在 $d=4$ 情况下证明不可扩展性，表明不存在任何向量可与三个实拉丁 MUBs 均正交，即使在 $\mathbb{C}$ 上亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不能被四整除或非完全平方的维度 $d$，$\mathbb{R}^d$ 中实相互 unbiased 基的最大数量是多少？
• RQ2 是否可以不借助极值集合论，仅通过初等方法证明上界 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$？
• RQ3 对于 $d = 4s^2$，是否对所有奇数 $s$ 都有 $M_{\mathbb{R}^d} = 3$，还是仅对特定值成立？
• RQ4 每个极大实 MUB 集是否都能扩展为实或复 MUB 的最优集？
• RQ5 在 Hadamard 猜想成立的前提下，$d = 4^i s^2$ 且 $i > 1$、$s$ 为奇数时，$M_{\mathbb{R}^d}$ 的精确值是多少？

主要发现

• 当维度 $d$ 不能被四整除时，实 MUB 的最大数量恰好为 1，原因在于此类大小的 Hadamard 矩阵不存在。
• 当维度为四的倍数但非完全平方时，实 MUB 的最大数量至多为 2，且当且仅当存在大小为 $d$ 的 Hadamard 矩阵时等号成立。
• 当 $d = 4s^2$ 时，实 MUB 的最大数量至多为 3，且该界对 $s=1$（即 $d=4$）是紧致的，此时存在三个实 MUB 且不可扩展。
• 本文提供了 $M_{\mathbb{R}^d} \leq d/2 + 1$ 的更简单、自包含的证明，且不依赖于 Cameron 和 Seidel 或 Delsarte 的结果。
• 在维度 $d=4$ 时，三个实拉丁 MUB 是不可扩展的：无法添加第四个实或复 MUB，表明极大集不一定是最优集。
• 当 $d = 4^i s^2$ 且 $i > 1$、$s$ 为奇数时，在假设存在大小为 $2^i s$ 的 Hadamard 矩阵的前提下，有下界 $M_{\mathbb{R}^d} \geq \text{MOLS}(2^i s) + 2$。