[论文解读] Real State Transfer

Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文在图上的连续量子行走中引入了“实态传输”概念，表明完美态传输与均匀混合从根本上依赖于密度矩阵的实性及代数条目。主要贡献在于：实密度矩阵强制对称性与周期性，而代数条目则意味着特征值支撑集的比值条件——从而对二部图与有向图中的均匀混合施加了强烈限制。

ABSTRACT

A continuous quantum walk on a graph $X$ with adjacency matrix $A$ is specified by the 1-parameter family of unitary matrices $U(t)=\exp(itA)$. These matrices act on the state space of a quantum system, the states of which we may represent by density matrices, positive semidefinite matrices with rows and columns indexed by $V(X)$ and with trace $1$. The square of the absolute values of the entries of a column of $U(t)$ define a probability density on $V(X)$, and it is precisely these densities that predict the outcomes of measurements. There are two special cases of physical interest: when the column density is supported on a vertex, and when it is uniform. In the first case we have perfect state transfer; in the second, uniform mixing. There are many results concerning state transfer and uniform mixing. In this paper we show that these results on perfect state transfer hold largely because at the time it occurs, the density matrix is real. We also show that the results on uniform mixing obtained so far hold because the entries of the density matrix are algebraic numbers. As a consequence of these we derive strong restrictions on the occurence of uniform mixing on bipartite graphs and on oriented graphs.

研究动机与目标

• 研究连续量子行走中完美态传输与均匀混合发生的结构与代数条件。
• 阐明为何现有关于完美态传输与均匀混合的结果受限于密度矩阵的实性及代数条目。
• 利用谱论与伽罗瓦理论技术，推导出二部图与有向图中均匀混合发生的强限制。
• 将关于态传输的结果从纯态推广至任意实密度矩阵与代数密度矩阵。
• 证明特征值支撑集的比值条件是定向图与二部图中周期性与均匀混合的必要条件。

提出的方法

• 将实态传输定义为在实密度矩阵之间通过 $ U(t) = \exp(itA) $ 的酉演化实现的完美态传输，其中 $ A $ 为邻接矩阵。
• 将密度矩阵 $ P $ 的特征值支撑集定义为满足 $ E_r P E_s \neq 0 $ 的所有对 $ (\theta_r, \theta_s) $ 的集合，其中 $ E_r $ 为谱投影算子。
• 证明 $ U(t)PU(-t) $ 为实矩阵，当且仅当 $ P $ 的特征值支撑集满足比值条件：对支撑集中所有不同对，有 $ \frac{\theta_r - \theta_s}{\theta_k - \theta_\ell} \in \mathbb{Q} $。
• 利用伽罗瓦理论分析 $ U(t)e_a $ 中的代数条目，表明平坦性（均匀混合）蕴含代数条目，进而蕴含比值条件。
• 通过谱分解与代数整数的性质，证明周期性顶点的支撑集中特征值必为某一公共平方根的有理倍数。
• 利用 $ (A+I)^r e_a $ 的离心率与线性无关性，限制连通二部图中具有周期性顶点的顶点数，从而得出有限性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何完美态传输与均匀混合仅在特定谱条件下发生？哪些结构性质强制了这些条件？
• RQ2 密度矩阵的实性在多大程度上强制了量子行走中的对称性与周期性？
• RQ3 在均匀混合的背景下，矩阵条目的代数性对特征值支撑集施加了何种约束？
• RQ4 在最大度有界的前提下，是否存在有限多个连通二部图或有向图，使得其具有局部均匀混合或完美态传输？
• RQ5 能否通过伽罗瓦理论论证，从必要性角度推导出定向图中周期性与均匀混合的比值条件？

主要发现

• 从实密度矩阵 $ P $ 到 $ Q $ 的完美态传输意味着 $ U(t)PU(-t) $ 为实矩阵，且该条件成立当且仅当 $ P $ 的特征值支撑集满足比值条件。
• 若有向图中顶点 $ a $ 具有局部均匀混合，则 $ U(t)e_a $ 为平坦矩阵，且其条目为代数数，因此 $ a $ 的特征值支撑集必须满足比值条件。
• 对于最大度不超过 $ k $ 的连通二部图，若其存在周期性顶点，则此类图仅有有限多个，原因在于离心率与特征值支撑集大小的有界性。
• 在上述二部图中，局部均匀混合同样仅有有限多个，因为均匀混合蕴含比值条件，从而限制了图的结构。
• 有向图中的完美态传输意味着初始顶点的特征值支撑集满足比值条件，这是由于转移矩阵条目的代数性所致。
• 有向图中周期性顶点的特征值支撑集必须由某无平方因子整数 $ b $ 的整数倍 $ \sqrt{b} $ 构成，从而导致周期为 $ 2\pi / \sqrt{b} $。