[论文解读] Realisation of groups as automorphism groups in categories

Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文证明，每个可数群都可以在各种置换范畴（包括定向与非定向超图、地图及双曲类型的dessins d'enfants）中，作为不可数多个非同构对象的自同构群被实现。通过利用三角群的最大子群和对称群中的中心化子结构，作者证明了每个有限群都能嵌入到单个正则地图的自同构群中，从而在这些范畴中为有限群的实现提供了一个通用构造。

ABSTRACT

It is shown that in various categories, including many consisting of maps or hypermaps, oriented or unoriented, of a given hyperbolic type, every countable group $A$ is isomorphic to the automorphism group of uncountably many non-isomorphic objects, infinitely many of them finite if $A$ is finite. In particular, this applies to dessins d'enfants, regarded as finite oriented hypermaps. The proof, involving maximal subgroups of various triangle groups, yields a simple construction of a regular map whose automorphism group contains an isomorphic copy of every finite group.

研究动机与目标

• 建立每个可数群都能作为置换范畴（如超图与地图）中不可数多个非同构对象的自同构群。
• 将弗鲁奇特定理推广至有限图之外，证明有限群是双曲类型有限超图（例如dessins d'enfants）的自同构群。
• 构造一个单个正则地图，其自同构群包含每个有限群的同构副本，从而为有限群的实现提供一个通用对象。
• 证明定向与非定向双曲类型超图的范畴满足强自同构实现性质（SARP），涵盖有限群与可数群的实现。

提出的方法

• 使用中心化子同构定理：Aut(O) ≅ N_G(H)/H，其中 H 是对象 O 的单峰群 G 中的点稳定子。
• 应用定理1，将置换范畴中的自同构群与母群 Γ 中的正规化子对稳定子的商联系起来。
• 利用康德与埃弗里特的陪集图，将有限群实现为双曲三元组的三角群 Δ(p,q,r) 和 Δ[p,q,r] 的商。
• 在 ℤ 上构造一个置换群 P = ⟨x, y⟩，其中 x 为平移，y 为对换或 q-循环，以模拟无限超图的单峰性。
• 证明 P 或其偶数子群 P⁺（由 x 和 y 生成）包含所有对称群与交错群的子群，因此包含所有有限群。
• 利用凯莱定理及 S_n 嵌入 A_{n+2} 的方法，将每个有限群嵌入到某个超图的最小正则覆叠的自同构群中。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可数群是否都能作为双曲类型超图与地图范畴中不可数多个非同构对象的自同构群被实现？
• RQ2 是否存在一个单个正则地图，其自同构群包含每个有限群的同构副本？
• RQ3 定向与非定向双曲类型超图的范畴是否满足强自同构实现性质（SARP）？
• RQ4 能否利用三角群 Δ(p,q,r) 的最大子群，将所有有限群实现为有限超图的自同构群？
• RQ5 Fuchsian 群的陪集图在这些范畴中为所有有限群构造自同构群时起什么作用？

主要发现

• 每个可数群 A 同构于双曲类型超图与地图范畴中不可数多个非同构对象的自同构群。
• 对每个有限群 A，存在无穷多个非同构的有限定向超图（包括 dessins d'enfants），其自同构群满足 Aut(O) ≅ A。
• 一个单个正则地图，即类型为 (∞,2,∞) 的无限超图的最小正则覆叠，其自同构群包含每个有限群的同构副本。
• 无限超图 H_∞ 的最小正则覆叠的自同构群同构于 ℤ 上的群 P = ⟨x, y⟩，该群包含所有对称群 S_n。
• 对每个 q ≥ 2，存在一个类型为 (∞, q, ∞) 的定向超图，其最小正则覆叠的自同构群为 P 或 P⁺，两者均包含每个有限群作为子群。
• 该构造可推广至所有紧致双曲三角群 Δ(p,q,r) 和 Δ[p,q,r]，支持所有此类范畴均满足强自同构实现性质的猜想。