[论文解读] Reality of linear and angular momentum expectation values in bound states

Utpal Roy, Suranjana Ghosh+2 more|ArXiv.org|Apr 3, 2007

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文研究了量子束缚态中线动量和角动量期望值的真实性，证明了由于动量算符的厄米性以及束缚态波函数的对称性，线动量的期望值始终为零。推导了球坐标系中动量算符的正确形式，表明从笛卡尔坐标系直接推广的方法因雅可比因子而失效，并证实必须在非直角坐标系中重新表述埃伦费斯特定理，才能获得一致的动力学行为，这一结论通过氢原子中径向动量的海森堡运动方程得到验证。

ABSTRACT

In quantum mechanics textbooks the momentum operator is defined in the Cartesian coordinates and rarely the form of the momentum operator in spherical polar coordinates is discussed. Consequently one always generalizes the Cartesian prescription to other coordinates and falls in a trap. In this work we introduce the difficulties one faces when the question of the momentum operator in spherical polar coordinate comes. We have tried to point out most of the elementary quantum mechanical results, related to the momentum operator, which has coordinate dependence. We explicitly calculate the momentum expectation values in various bound states and show that the expectation value really turns out to be zero, a consequence of the fact that the momentum expectation value is real. We comment briefly on the status of the angular variables in quantum mechanics and the problems related in interpreting them as dynamical variables. At the end, we calculate the Heisenberg's equation of motion for the radial component of the momentum for the Hydrogen atom.

研究动机与目标

• 澄清球坐标系中动量算符的正确形式，因为教科书常通过简单推广笛卡尔形式而错误应用。
• 严格证明在束缚态中线动量期望值为零，这一结果常被引用但缺乏推导。
• 解决在非直角坐标系中，特别是角变量是否可作为量子力学中的动力学变量这一基础性问题。
• 在球坐标系中重新表述径向动量的埃伦费斯特定理，表明其与氢原子中牛顿力学的一致性。
• 强调雅可比行列式在非直角坐标变换中的作用及其对算符定义和期望值的影响。

提出的方法

• 通过要求本征值为实数并确保厄米性，推导球坐标系中动量算符的形式。
• 使用动量算符的坐标空间表示，并将其应用于各种势场（无限深阱、谐振子、库仑势、莫尔斯势）的束缚态波函数。
• 应用特殊函数理论（关联系里盖尔多项式和勒让德多项式），计算库仑势等非平凡势场中的期望值。
• 对氢原子中的径向动量算符应用海森堡运动方程，推导其在球坐标系中的时间演化。
• 利用类氢波函数计算 1/r² 和 1/r³ 的期望值，以验证径向动量期望值的时间导数为零。
• 将球坐标系中推导出的埃伦费斯特定理与标准笛卡尔形式进行比较，表明后者在非直角坐标系中失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何将笛卡尔坐标系中的动量算符简单推广到球坐标系会导致量子力学中的错误结果？
• RQ2 如何一致地定义球坐标系中的动量算符，以确保其期望值为实数？
• RQ3 为何在束缚态中线动量的期望值始终为零？这一结论如何对库仑势和莫尔斯势等非平凡势场进行严格证明？
• RQ4 在非直角坐标系中，埃伦费斯特定理应如何修改，才能正确描述动量期望值的时间演化？
• RQ5 对于角变量等周期性或紧致系统，其作为动力学变量的地位有何影响？

主要发现

• 在所有束缚态中，线动量算符的期望值恰好为零，这是动量算符厄米性与波函数对称性的直接结果。
• 球坐标系中的动量算符不能简单地从笛卡尔坐标系推广；正确形式包含依赖于雅可比行列式的项，从而改变算符结构。
• 氢原子中的径向动量算符满足一个形式上类似于牛顿第二定律的海森堡运动方程，其中包含正确的 1/r³ 和 1/r² 势能项。
• 当使用正确形式的非直角坐标系埃伦费斯特定理时，氢原子中径向动量算符时间导数的期望值为零，与经典稳定性一致。
• 标准笛卡尔形式的埃伦费斯特定理在球坐标系中失效；只有经过正确变换的形式才能给出正确的动力学行为。
• 对于角度等紧致变量，其共轭动量（角动量）仅在变量为周期性时才非零；否则必须为零，这凸显了定义角可观测量时的根本性问题。