[论文解读] Realizations of Gromov-Hausdorff Distance

Alexander Ivanov, S.D. Iliadis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Medical and Biological Sciences参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文证明了任意两个紧致度量空间之间存在最优对应关系，且格罗莫夫–豪斯多夫距离总能在这些对应关系上实现。利用这些最优对应关系，作者构建了显式的等距嵌入，将两个空间嵌入到同一个度量空间中，使得它们像之间的豪斯多夫距离等于格罗莫夫–豪斯多夫距离，并进一步证明这些对应关系可生成格罗莫夫–豪斯多夫空间中的最短测地线，通过基本的紧致性论证确认了该空间的测地结构。

ABSTRACT

It is shown that for any two compact metric spaces there exists an "optimal" correspondence which the Gromov-Hausdorff distance is attained at. Each such correspondence generates isometric embeddings of these spaces into a compact metric space such that the Gromov-Hausdorff distance between the initial spaces is equal to the Hausdorff distance between their images. Also, the optimal correspondences could be used for constructing the shortest curves in the Gromov-Hausdorff space in exactly the same way as it was done by Alexander Ivanov, Nadezhda Nikolaeva, and Alexey Tuzhilin in arXiv:1504.03830, where it is proved that the Gromov-Hausdorff space is geodesic. Notice that all proofs in the present paper are elementary and use no more than the idea of compactness.

研究动机与目标

• 证明任意两个紧致度量空间之间的格罗莫夫–豪斯多夫距离总能在某个最优对应关系上实现。
• 在同一个度量空间中显式构造紧致度量空间的实现，使得它们像之间的豪斯多夫距离等于格罗莫夫–豪斯多夫距离。
• 证明最优对应关系可用于构造格罗莫夫–豪斯多夫空间中的最短测地线，从而确认其测地性质。
• 提供一种基于紧致性的初等证明，避免使用高级工具，使结果具有自包含性且易于理解。

提出的方法

• 将紧致度量空间 X 和 Y 之间的对应关系定义为两个投影均为满射的关系。
• 引入对应关系的畸变（distortion）定义，即相关点对之间距离差的绝对值的上确界。
• 证明在紧致对应关系空间上，畸变函数是连续的，并由于该空间的紧致性而达到最小值。
• 证明格罗莫夫–豪斯多夫距离等于最优对应关系畸变的一半。
• 利用最优对应关系在不相交并集 X ⊔ Y 上构造一个伪度量，从而得到一个商空间，使得 X 和 Y 的像在该空间中实现格罗莫夫–豪斯多夫距离为豪斯多夫距离。
• 利用最优对应关系定义一个一维参数族的度量空间 R_t，其度量 ρ_t 在 X 和 Y 的度量之间线性插值，从而在格罗莫夫–豪斯多夫空间中形成连接 X 和 Y 的最短测地线。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意两个紧致度量空间之间的格罗莫夫–豪斯多夫距离是否总能在某个对应关系上实现其下确界？
• RQ2 是否每个紧致度量空间对都能等距嵌入到同一个度量空间中，使得它们像之间的豪斯多夫距离等于格罗莫夫–豪斯多夫距离？
• RQ3 最优对应关系是否可用于显式构造格罗莫夫–豪斯多夫空间中的最短测地线？
• RQ4 格罗莫夫–豪斯多夫空间是否具有测地性质？是否能通过基本的紧致性论证加以证明？

主要发现

• 对于任意两个紧致度量空间 X 和 Y，存在至少一个最优对应关系 R ∈ R_opt(X,Y)，使得 d_GH(X,Y) = (1/2) · dis(R)。
• 存在一个在 X ⊔ Y 上的伪度量 ρ，使得 d_H(X,Y,ρ) = d_GH(X,Y)，从而在共同空间中直接实现了格罗莫夫–豪斯多夫距离作为豪斯多夫距离。
• 存在一个度量空间 Z 及 X 和 Y 到 Z 的等距嵌入，使得它们像之间的豪斯多夫距离等于 d_GH(X,Y)。
• 对于任意最优对应关系 R，以 ρ_t((x,y),(x',y')) = (1−t)|xx'| + t|yy'| 定义的度量空间族 (R, ρ_t) 构成格罗莫夫–豪斯多夫空间中连接 X 和 Y 的最短测地线。
• 该证明仅依赖于紧致对应关系空间的紧致性以及畸变函数的连续性，避免使用高级分析工具。
• 结果确认了格罗莫夫–豪斯多夫空间具有测地性质，且通过最优对应关系可显式、构造性地实现最短测地线。