[论文解读] Realizing All Free Homotopy Classes for the Newtonian Three-Body Problem

Richard Moeckel, Richard Montgomery|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2014

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了在平面牛顿三体问题中，每个约化的自由同伦类均可由具有非零角动量的约化周期解实现。通过McGehee三体碰撞的爆破方法得到的符号动力系统，作者构造出反复趋近三体碰撞并在此处表现出“颤音”（重复的共线构型）的解，从而实现了所有可能的共线构型序列与同伦类。

ABSTRACT

The configuration space of the planar three-body problem when collisions are excluded has a rich topology which supports a large set of free homotopy classes. Most classes survive modding out by rotations. Those that survive are called the reduced free homotopy classes and have a simple description when projected onto the shape sphere. They are coded by syzygy sequences. We prove that every reduced free homotopy class, and thus every reduced syzygy sequence, is realized by a reduced periodic solution to the Newtonian planar three-body problem. The realizing solutions have nonzero angular momentum, repeatedly come very close to triple collision, and have lots of "stutters"--repeated syzygies of the same type. The heart of the proof is contained in the work by one of us on symbolic dynamics arising out of the central configurations after the triple collision is blown up using McGehee's method.

研究动机与目标

• 确定平面三体问题中每个约化的自由同伦类是否均可由周期解实现。
• 理解模旋转后的配置空间的拓扑结构，特别是共线构型序列在同伦类分类中的作用。
• 建立一种基于符号动力系统与碰撞正则化的动力学机制，以实现所有此类同伦类。
• 通过展示流形上的测地线与三体问题中周期解之间的类比，证明所有同伦类均可实现。

提出的方法

• 使用McGehee的爆破方法分析三体碰撞附近的动力学，将奇点转化为具有双曲平衡点的流形。
• 在碰撞流形附近的相空间中构造抛射-碰撞轨道及其相关的不变流形（窗口）。
• 从零角动量扰动至非零角动量，以消除碰撞流形，并利用双曲动力学使进入与离开的窗口对齐。
• 应用符号动力系统，通过共线构型序列编码运动，其中共线构型对应于形状球面上赤道的穿越。
• 通过消去连续相同的共线构型类型（即“颤音对”），得到约化的共线构型序列，该序列用于分类约化的自由同伦类。
• 证明当角动量足够小时，通过窗口的链式对齐，每个约化的共线构型序列均可由周期解实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面三体问题中，每个约化的自由同伦类是否都存在具有非零角动量的周期解？
• RQ2 由三体碰撞爆破产生的符号动力系统能否实现所有可能的共线构型序列？
• RQ3 当角动量趋于零时，实现这些同伦类的解会发生什么变化——它们是否仍然存在或会坍缩？
• RQ4 能否消除解中的“颤音”（重复的共线构型），特别是在零角动量、等质量的情况下？
• RQ5 当势能、能量和角动量连续变形趋近牛顿情形时，所实现的解是否仍保持稳定？

主要发现

• 在平面三体问题中，对于足够小的非零角动量，每个约化的自由同伦类均可由约化的周期解实现。
• 实现这些同伦类的解具有非零角动量，并且反复趋近于三体碰撞的任意接近程度。
• 由于靠近三体碰撞流形的动力学，这些解表现出“颤音”——相同类型的重复共线构型。
• 通过消去颤音对得到的约化共线构型序列，可对约化的自由同伦类进行分类，且是完整的拓扑不变量。
• 该证明依赖于从零角动量扰动至非零角动量后，不变流形（窗口）的对齐，从而消除了碰撞流形带来的障碍。
• 该构造对小扰动具有鲁棒性，适用于质量相等或接近相等、且能量为固定负值的系统。