[论文解读] Realizing Kasparov's KK-theory groups as the homotopy classes of maps of a Quillen model category

M. Joachim, Mark Johnson|arXiv (Cornell University)|May 14, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 18

一句话总结

本文在 ν-序列完备的局部凸度量 C*-代数范畴上构建了一个 Quillen 模型范畴结构，使得可分 C*-代数 $A$ 与 σ-单位元 C*-代数 $B$ 之间映射的同伦类自然同构于 Kasparov 的 $KK(A,B)$ 群。该构造以 Cuntz 的同构 $KK(A,B) \cong [W(qA), B]$ 为基础，通过 $qA \boxtimes \mathcal{K}$ 提供可换替换，并证明弱等价性恰好对应于 $KK_*$-等价性。

ABSTRACT

In this article we build a Quillen model category structure on the category of sequentially complete l.m.c.-C*-algebras such that the corresponding homotopy classes of maps Ho(A,B) for separable C*-algebras A and B coincide with the Kasparov groups KK(A,B). This answers an open question posed by Mark Hovey about the possibility of describing KK-theory for C*-algebras using the language of Quillen model categories.

研究动机与目标

• 在 ν-序列完备的局部凸度量 C*-代数范畴上建立一个 Quillen 模型范畴结构，使得 Kasparov 的 $KK$-理论群可自然地实现为映射的同伦类。
• 确保模型范畴中的弱等价性恰好对应于 $KK_*$-等价性，从而保持 $KK$-理论的同构性。
• 通过将 C*-代数嵌入具有更好范畴性质的完备局部凸度量 C*-代数范畴，为 $KK$-理论提供一个同伦框架。
• 利用与紧算子代数 $\mathcal{K}$ 的张量积及左伴随函子 $W$ 构成的伴随对来定义模型结构，推广 Cuntz 定理。
• 确保所有对象均可换生成且为纤维化对象，从而支持归纳构造并保证同伦极限的良好行为。

提出的方法

• 在 ν-序列完备的局部凸度量 C*-代数范畴 $\mathbb{A}_\nu$ 上定义模型范畴，该范畴包含 C*-代数的逆极限。
• 以同构 $KK(A,B) \cong [W(qA), B]$ 作为定义同伦范畴的基础同构。
• 通过 $qA \boxtimes \mathcal{K}$ 构造可换替换，其中 $qA$ 是折叠映射 $A * A \to A$ 的核。
• 将弱等价性定义为在 $\pi_n Hom(W(qA), -)$ 上诱导同构的映射，这些映射恰好对应于 $KK_*$-等价性。
• 建立半范数扩张性质，以处理局部凸度量 C*-代数范畴中的列极限与映射空间。
• 应用 Quillen 的小对象构造法，构建一个可换生成的模型结构，确保纤维化对象本身已是纤维化对象。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kasparov 的 $KK$-理论群是否可在 Quillen 模型范畴中自然地实现为映射的同伦类？
• RQ2 是否存在一个完备局部凸度量 C*-代数范畴上的模型范畴结构，使得对可分 $A$ 与 σ-单位元 $B$ 有 $Ho(A,B) \cong KK(A,B)$？
• RQ3 此类模型范畴中的弱等价性是否恰好与 $KK_*$-等价性一致？
• RQ4 可分 C*-代数的可换替换是否可利用 $qA \boxtimes \mathcal{K}$ 构造？
• RQ5 范畴 $\mathbb{A}_\nu$ 上的模型范畴结构是否具有可换生成结构，且所有对象均为纤维化？

主要发现

• 在 $\mathbb{A}_\nu$ 上的模型范畴结构对所有可分 C*-代数 $A$ 与 σ-单位元 C*-代数 $B$ 满足 $Ho(A,B) \cong KK(A,B)$。
• σ-单位元 C*-代数之间的 *-同态 $f: B \to B'$ 是 $KK$-模型范畴中的弱等价当且仅当它是 $KK_*$-等价。
• $qA \boxtimes \mathcal{K}$ 是可换的，并构成 $qA$ 的可换替换，且复合映射 $qA \boxtimes \mathcal{K} \to qA \to A$ 给出了 $A$ 的可换替换。
• 该模型范畴是可换生成的，且所有对象均为纤维化对象，从而保证了同伦极限的良好行为及右固性。
• 自然映射 $q_{qB}: qB \boxtimes \mathcal{K} \to qB$ 在映射空间上诱导出弱等价，这对于将 $KK$-群实现为同伦类至关重要。
• 该构造推广了 Cuntz 定理，并通过 $Ho(A,B) = \pi_0 \operatorname{Hom}(qA \boxtimes \mathcal{K}, B)$ 为 $KK$-理论提供了新的同伦解释。