[论文解读] Reasoning about Expectation

Joseph Y. Halpern, Riccardo Pucella|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文提出了一种命题逻辑，用于在多种不确定性表示——概率、概率测度集、信任函数和可能性测度——之间进行期望推理，为每种情况提供了健全且完备的公理化系统。该逻辑在检查可满足性时为NP完全问题，且在测度集的情况下比基于似然性的逻辑更具表达力，而在其他情况下则表达力相当。

ABSTRACT

Expectation is a central notion in probability theory. The notion of expectation also makes sense for other notions of uncertainty. We introduce a propositional logic for reasoning about expectation, where the semantics depends on the underlying representation of uncertainty. We give sound and complete axiomatizations for the logic in the case that the underlying representation is (a) probability, (b) sets of probability measures, (c) belief functions, and (d) possibility measures. We show that this logic is more expressive than the corresponding logic for reasoning about likelihood in the case of sets of probability measures, but equi-expressive in the case of probability, belief, and possibility. Finally, we show that satisfiability for these logics is NP-complete, no harder than satisfiability for propositional logic.

研究动机与目标

• 开发一个统一的逻辑框架，用于在多种不确定性表示中进行期望推理。
• 为四种不确定性模型（概率、概率测度集、信任函数和可能性测度）下的期望逻辑提供健全且完备的公理化系统。
• 比较新逻辑与现有基于似然性的逻辑的表达力，特别是在测度集背景下的情况。
• 分析所提逻辑中可满足性的计算复杂度。

提出的方法

• 使用具有类似模态算子的命题逻辑形式化不同不确定性模型下的期望值。
• 基于底层不确定性表示（概率测度、测度的凸集、信任函数或可能性测度）定义期望的语义。
• 为四种不确定性模型中的每一种构建健全且完备的公理系统。
• 通过将命题逻辑的可满足性问题归约为期望逻辑情形，证明可满足性的NP完全性。
• 使用对偶性和变换技术，比较与基于似然性的逻辑的表达力。
• 在概率、信任函数和可能性测度的情况下，建立与似然逻辑的等表达力关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一种适用于多种不确定性模型的逻辑中正式捕捉期望？
• RQ2 在概率测度集、信任函数和可能性测度的背景下，期望逻辑的健全且完备的公理化系统是什么？
• RQ3 与基于似然性的逻辑相比，期望逻辑的表达力如何，特别是在不精确概率的情况下？
• RQ4 在所提逻辑中，确定可满足性的计算复杂度是什么？
• RQ5 在某些不确定性模型下，能否证明该逻辑与现有基于似然性的形式化具有等表达力？

主要发现

• 该逻辑为四种不确定性模型（概率、概率测度集、信任函数和可能性测度）下的期望提供了健全且完备的公理化系统。
• 该逻辑的可满足性为NP完全问题，与命题逻辑的复杂度一致。
• 当底层模型为概率测度集时，该逻辑严格比基于似然性的逻辑更具表达力。
• 在概率、信任函数和可能性测度的情况下，该逻辑与基于似然性的逻辑具有等表达力。
• 该框架支持对多种不确定性表示中的期望进行统一处理，使人工智能和决策理论中的期望值形式化推理成为可能。