[论文解读] Recent Results in Infinite Dimensional Analysis and Applications to Feynman Integrals

Werner Westerkamp|ArXiv.org|Feb 28, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 76被引用 20

一句话总结

本文提出了一套针对非高斯测度的无限维分析框架，结合阿佩尔系（Appell systems）与白噪声分析，实现了费曼路径积分的严格表述。该框架建立了正则对易关系的泛函形式，并通过白噪声分布推导出埃伦费斯特定理，证明了在路径积分形式下，量子平均值满足经典运动方程。

ABSTRACT

The first part of this thesis proposes a general approach to infinite dimensional non-Gaussian analysis, including the Poissonian case. In particular distribution theory is developed. Using appropriate integral transformations, generalized and test functionals are characterized in terms of holomorphy. Furthermore differential operators, Wick product and change of measure are discussed. In the second part the Gaussian case (White Noise Analysis) is worked out in more detail. Furthermore operators on distribution spaces e.g. compositions with shifts and complex scaling are discussed. In the third part Feynman integrals are constructed using White Noise distributions as integrands. Its expectation yields the path integral. This rigorous approach is applied to the interacting case. A generalization of the Khandekar Streit method is proposed. The resulting class of admissible potentials covers signed measures. The Albeverio Hoegh-Krohn class, which consists of Fourier transforms of measures, is discussed. The third approach is based on complex scaling. The so-called Doss class allows analytic potentials which obey some growth condition. Using the White Noise calculus of differential operators, the functional form of the canonical commutation relation is derived. Finally Ehrenfest's theorem is proven.

研究动机与目标

• 将无限维分析从高斯测度推广至非高斯、光滑且非退化的测度，其特征泛函具有解析性。
• 在不依赖拟不变性或光滑对数导数的条件下，为这类测度构造一个双正交阿佩尔系（Pµ, Qµ）。
• 将该框架应用于严格表述量子力学中的费曼路径积分，特别是谐振子与Albeverio-Høegh-Krohn类问题。
• 在白噪声分布框架内推导出量子力学中的恒等式，如正则对易关系与埃伦费斯特定理。
• 证明量子平均值满足经典运动方程，从而在路径积分框架下验证对应原理。

提出的方法

• 在共核空间上，利用双正交多项式与广义函数，为非高斯测度µ构造阿佩尔系（Pµ, Qµ）。
• 利用白噪声分析与Hida三元组（N）⊂L²(µ)⊂（N）′，通过U-泛函与无限维全纯性表示测试函数与分布。
• 应用复数缩放与Donsker的δ函数泛函，处理路径积分中的时间有序乘积与奇异性。
• 利用（Sd）−1与（Sd）1之间的对偶性，定义并操作广义泛函，包括将费曼被积函数表示为Hida分布。
• 应用Skorohod型导数D∗的伴随算子，推导量子恒等式，利用恒等式E(D∗TI) = 0（其中T ∈ S′d(R)）作为关键工具。
• 通过白噪声分布的乘法法则与极限过程（如ε → 0），从泛函积分推导出算子恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖拟不变性或光滑对数导数的条件下，为非高斯测度构建一个严格的无限维分析框架？
• RQ2 如何直接从泛函积分表示中推导出位置与动量之间的正则对易关系？
• RQ3 在路径积分形式下，量子力学平均值在多大程度上满足经典运动方程？
• RQ4 能否严格地将谐振子与Albeverio-Høegh-Krohn类的费曼被积函数表示为广义白噪声泛函？
• RQ5 Donsker的δ函数与复数缩放在处理路径积分中的时间有序乘积与奇异性方面起什么作用？

主要发现

• 本文为具有解析特征泛函的非高斯测度构造了双正交阿佩尔系（Pµ, Qµ），实现了无需光滑性或拟不变性要求的广义函数理论。
• 在路径积分形式下，正则对易关系被严格推导：limε→0 E[(ẋk(s+ε)xℓ(s) − xℓ(s)ẋk(s−ε))I] = −iδkℓE[I]，证实了位置与动量算符的非对易性。
• 埃伦费斯特定理由在白噪声框架中被恢复：E[ẍ(s)·I] = −E[∇V(ẋ(s))·I]，表明量子期望值满足经典运动方程。
• 谐振子的费曼被积函数被表示为（Sd）−1中的Hida分布，从而可通过白噪声微积分实现严格操作。
• 通过Donsker的δ函数与复数缩放，成功处理了时间有序乘积与奇异性，收敛性由快速衰减因子1/n!保证。
• 该框架表明，平均值中的样本路径不可微，反映了量子轨迹的非光滑本质。