[论文解读] Reciprocal cyclotomic polynomials

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文研究了互反分圆多项式 $\Psi_n(x)$ 的系数，其定义为 $(x^n - 1)/\Phi_n(x)$，这些是首一整系数多项式，其根为非本原的 $n$ 次单位根。研究发现，这些系数的绝对值具有对称性，且通常较小（平坦），但可以任意增大；值得注意的是，首个非平坦情况出现在 $n=561$，即最小的卡迈克尔数，此时 $c_{561}(17) = -2$。本文证明了所有整数均可作为 $\Psi_{pqr}(x)$ 的系数出现，其中 $p<q<r$ 为不同素数，从而表明系数增长是无界的。

ABSTRACT

Let $Ψ_n(x)$ be the monic polynomial having precisely all non-primitive $n$th roots of unity as its simple zeros. One has $Ψ_n(x)=(x^n-1)/Φ_n(x)$, with $Φ_n(x)$ the $n$th cyclotomic polynomial. The coefficients of $Ψ_n(x)$ are integers that like the coefficients of $Φ_n(x)$ tend to be surprisingly small in absolute value, e.g. for $n&lt;561$ all coefficients of $Ψ_n(x)$ are $\le 1$ in absolute value. We establish various properties of the coefficients of $Ψ_n(x)$.

研究动机与目标

• 分析互反分圆多项式 $\\Psi_n(x) = (x^n - 1)/\\Phi_n(x)$ 的结构与系数行为，其定义为所有 $n$ 的真因数 $d$ 对应的 $\Phi_d(x)$ 的乘积。
• 理解 $\Psi_n(x)$ 中系数相消的程度，类比于 $\Phi_n(x)$ 系数已知的微小性，以及这种相消何时失效。
• 刻画系数集合 $V_n = \{c_n(k)\}$，特别是当其包含 $-1, 0, 1$ 时，以及在何种条件下系数的绝对值超过 1。
• 研究 $\Psi_n(x)$ 的系数是否无界，确定 $|c_n(k)| > 1$ 的最小 $n$，尤其关注与卡迈克尔数的关系。

提出的方法

• 本文使用莫比乌斯反演推导出恒等式 $\Phi_n(x) = \prod_{d|n} (x^d - 1)^{\mu(n/d)}$，从而得到 $\Psi_n(x) = \prod_{d|n, d<n} \Phi_d(x)$，确保其具有整系数。
• 利用莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 和根子函数 $\text{rad}(n)$ 的性质，推导出递推恒等式，如当 $n$ 为奇数时 $\Psi_{2n}(x) = (1 - x^n)\Psi_n(-x)$，以及当 $p|n$ 时 $\Psi_{pn}(x) = \Psi_n(x^p)$。
• 利用函数方程 $\Psi_n(x) = -x^{n - \varphi(n)} \Psi_n(1/x)$ 建立对称性：若 $c_n(k)$ 是一个系数，则 $-c_n(n - \varphi(n) - k)$ 也是，这意味着 $V_n$ 关于零对称。
• 证明当 $n$ 的不同奇素因子不超过两个时，$\Psi_n(x)$ 是平坦的（所有系数属于 $\{-1, 0, 1\}$），通过结构分解与系数分析完成。
• 对于更高阶的 $n$，本文利用算术级数中素数的狄利克雷定理，构造出素数序列 $p<q<r$，使得 $\Psi_{pqr}(x)$ 的系数可任意大。
• 通过显式计算示例，并利用已知公式推导 $\Phi_{pq}(x)$ 的结构，获得系数值，特别是针对 $n = 561$ 和切里尼克卡迈克尔数的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 互反分圆多项式 $\Psi_n(x)$ 的系数具有何种结构，其与 $\Phi_n(x)$ 的系数相比有何异同？
• RQ2 对于哪些 $n$，$\Psi_n(x)$ 的系数绝对值有界于 1？最小的 $n$ 是多少，使得 $|c_n(k)| > 1$？
• RQ3 $\Psi_n(x)$ 的系数是否可取遍所有整数？若是，对于哪些 $n$？
• RQ4 当 $n$ 为卡迈克尔数时，$\Psi_n(x)$ 的行为如何？是否对所有此类 $n$ 都有 $h(\Psi_n(x)) > 1$？
• RQ5 能否证明系数集合 $\{c_n(k)\}$ 覆盖所有整数？对于给定的 $m$，使 $|c_n(k)| = m$ 的最小 $n$ 是多少？

主要发现

• 首次出现 $|c_n(k)| > 1$ 的 $n$ 是 $n = 561 = 3 \cdot 11 \cdot 17$，此时 $c_{561}(17) = -2$，且这是最小的卡迈克尔数。
• 对于所有具有至多两个不同奇素因子的 $n$，$\Psi_n(x)$ 是平坦的：所有系数均属于 $\{-1, 0, 1\}$，如引理 4 所示。
• 对于 $n = pqr$ 且 $p<q<r$ 为不同素数的情形，系数集合 $\{c_{pqr}(k)\}$ 覆盖所有整数：$\{c_{pqr}(k)\} = \mathbb{Z}$，如定理 8 所证明。
• 对于切里尼克卡迈克尔数 $C = (6k+1)(12k+1)(18k+1)$，系数 $c_C(24k+2) = -2$，因此 $h(\Psi_C(x)) = 2$，这些多项式并非平坦。
• 使 $|c_n(k)| = m$ 的最小 $n$ 列于表格中：当 $m=2$ 时，$n_0=561$；当 $m=3$ 时，$n_0=1155$；当 $m=10$ 时，$n_0=11305$，且该 $n_0$ 对于 $m=10$ 到 $21$ 均保持最小。
• 系数 $c_n(k)$ 满足对称性：$c_n(k) = -c_n(n - \varphi(n) - k)$，因此系数集合 $V_n$ 关于零对称；若 $n - \varphi(n)$ 为偶数，则 $c_n((n - \varphi(n))/2) = 0$。