[论文解读] Recognition of generalized network matrices

Antoine Musitelli|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Graph theory and applications参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于识别广义网络矩阵的二分矩阵（binet matrices），其时间复杂度为 O(n⁶m)，该算法通过非奇异矩阵 B 和节点-边关联矩阵 N 输出一个双向图表示，使得 A = B⁻¹N。此外，本文还提供了 Camion 基和非负 {ε, ρ}-非相关网络矩阵的新刻画及识别算法。

ABSTRACT

In this thesis, we deal with binet matrices, an extension of network matrices. The main result of this thesis is the following. A rational matrix A of size n×m can be tested for being binet in time O(n6m). If A is binet, our algorithm outputs a nonsingular matrix B and a matrix N such that [B N] is the node-edge incidence matrix of a bidirected graph (of full row rank) and A = B-1N. Furthermore, we provide some results about Camion bases. For a matrix M of size n × m', we present a new characterization of Camion bases of M, whenever M is the node-edge incidence matrix of a connected digraph (with one row removed). Then, a general characterization of Camion bases as well as a recognition procedure which runs in O(n2m') are given. An algorithm which finds a Camion basis is also presented. For totally unimodular matrices, it is proven to run in time O((nm)2) where m = m' – n. The last result concerns specific network matrices. We give a characterization of nonnegative {ε, ρ}-noncorelated network matrices, where ε and ρ are two given row indexes. It also results a polynomial recognition algorithm for these matrices.

研究动机与目标

• 开发一种高效的二分矩阵识别算法，二分矩阵是网络矩阵的推广。
• 刻画连通有向图在移除一行后其节点-边关联矩阵的 Camion 基。
• 提供 Camion 基的一般性刻画，并设计一种高效的识别算法。
• 刻画并识别给定行索引 ε 和 ρ 的非负 {ε, ρ}-非相关网络矩阵。
• 为所有识别与刻画任务建立多项式时间算法。

提出的方法

• 利用有向图的节点-边关联矩阵，通过 [B N] 的满行秩形式表示二分矩阵。
• 利用矩阵求逆与秩条件，通过 B⁻¹N 分解测试有理矩阵 A 是否为二分矩阵。
• 利用连通有向图的图论性质，推导 Camion 基的新刻画。
• 基于关联矩阵的结构特性，设计一种识别 Camion 基的算法，时间复杂度为 O(n²m')。
• 利用全单模性与矩阵分解技术，将 Camion 基算法优化至 O((nm)²) 时间复杂度。
• 基于行索引约束与矩阵结构，提出非负 {ε, ρ}-非相关网络矩阵的刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效测试一个有理矩阵是否为二分矩阵？若是，其时间复杂度是多少？
• RQ2 什么结构条件定义了移除一行后的连通有向图节点-边关联矩阵的 Camion 基？
• RQ3 如何一般性地刻画并识别 Camion 基？其识别的时间复杂度是多少？
• RQ4 什么条件定义了 {ε, ρ}-非相关网络矩阵？能否在多项式时间内识别？
• RQ5 识别二分矩阵及相关矩阵类的计算复杂度是多少？

主要发现

• 二分矩阵的识别算法时间复杂度为 O(n⁶m)，并输出通过 B⁻¹N 分解的双向图表示。
• 通过图论条件刻画了连通有向图（移除一行后）的节点-边关联矩阵的 Camion 基。
• 提供了 Camion 基的一般性刻画，并设计了一种时间复杂度为 O(n²m') 的识别算法。
• 对于全单模矩阵，Camion 基识别算法的时间复杂度为 O((nm)²)，其中 m = m' – n。
• 非负 {ε, ρ}-非相关网络矩阵得到刻画，并建立了多项式时间识别算法。
• 所有提出的算法均高效，基于矩阵分解与图结构，且具有精确的时间复杂度界。