[论文解读] Recollements of derived categories II: Algebraic K-theory

Haishan Chen, Changchang Xi|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用 19

一句话总结

本文在导出范畴的黏合结构中建立了高阶代数K-群的Mayer-Vietoris正合序列，给出了K-理论群加法公式的充分条件。这些结果被应用于同调环态射和非交换局部化，得到了Milnor平方的无限Mayer-Vietoris序列，并通过非交换张量积给出了无限二面体群K-理论的新描述。

ABSTRACT

For a recollement of derived module categories of rings, we provide sufficient conditions to guarantee the additivity formula of higher algebraic K-groups of the rings involved, and establish a long Mayer-Vietoris exact sequence of higher algebraic K-groups for homological exact contexts introduced in the first paper of this series. Our results are then applied to recollements induced from homological ring epimorphisms and noncommutative localizations. Consequently, we get an infinitely long Mayer-Vietoris exact sequence of K-theory for Milnor squares, re-obtain a result of Karoubi on localizations and a result on generalized free products pioneered by Waldhausen and developed by Neeman and Ranicki. In particular, we describe algebraic $K$-groups of the free product of two groups over a regular coherent ring as the ones of the noncommutative tensor product of an exact context. This yields a new description of algebraic $K$-theory of infinite dihedral group.

研究动机与目标

• 确定在导出模范畴的黏合结构中，高阶代数K-群加法公式成立的充分条件。
• 将Mayer-Vietoris正合序列推广至同调精确情形，并推广由同调环态射诱导的黏合结构。
• 利用非交换张量积描述广义自由积和群环的代数K-理论。
• 通过黏合技术重新推导并推广关于局部化和自由积K-理论的结果。
• 利用非交换张量积的群环，提供无限二面体群K-理论的新描述。

提出的方法

• 利用导出模范畴的黏合结构，通过带有伴随的三角函子将三个环的K-理论联系起来。
• 应用Frobenius对与Waldhausen范畴的理论，分析精确情形下K-理论空间的性质。
• 通过完美dg模和高阶K-群的分解定理，建立K-理论空间的同伦等价。
• 在同调精确情形下构造K-理论的长Mayer-Vietoris正合序列，推广Neeman与Ranicki的结果。
• 将该框架应用于非交换局部化和同调环态射，特别关注目标模具有有限型分解的情形。
• 利用群环函子和R-环范畴中的余积，将群的自由积的K-理论与非交换张量积联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在导出模范畴的黏合结构中，高阶代数K-群的加法公式在何种条件下成立？
• RQ2 是否可以在同调精确情形下为代数K-理论构造一个长Mayer-Vietoris正合序列？
• RQ3 群的自由积的K-理论与群环的非交换张量积的K-理论之间有何关系？
• RQ4 在非交换张量积与Nil群的术语下，无限二面体群的K-理论是什么？
• RQ5 如何通过无限Mayer-Vietoris序列描述Milnor平方的K-理论？

主要发现

• 为Milnor平方建立了高阶代数K-群的无限Mayer-Vietoris正合序列，推广了经典结果。
• 当底环为正则凝聚环时，两个群在该环上的自由积的K-理论被描述为它们群环的非交换张量积的K-理论。
• 对于无限二面体群 $D_{∞}$，本文给出了一个新分解：$K_n(R(D_{∞})) \simeq K_n(R\mathbb{Z}_2 \boxtimes_R R\mathbb{Z}_2) \oplus \widetilde{\mathfrak{Nil}}_{n-1}(R)$。
• 该结果重新得到了Karoubi关于局部化的定理，并推广了Waldhausen–Neeman–Ranicki关于广义自由积的结果。
• 证明了 $R(H*G)$ 的K-理论同构于 $RH \boxtimes_R RG$，在R-环范畴中确认了余积结构。
• 当 $ olimits_1(V)$ 平凡时，有 $K_n(R(\pi_1(U))) \simeq K_n(R(\pi_1(U_1)) \boxtimes_R R(\pi_1(U_2)))$，将拓扑基本群与通过非交换积联系的K-理论联系起来。