[论文解读] Recompression: a simple and powerful technique for word equations

Artur Jeż|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文提出了一种新颖的局部重压缩技术，用于求解词方程，通过替换变量并压缩字母对，构建解的直线程序（SLP）。该方法提供了一个自包含的高效算法，时间复杂度为 O(n log n) 空间和 n 与 log N 的多项式时间，独立证明了解的大小和周期性指数的二重指数上界，无需依赖先前结果。

ABSTRACT

In this paper we present an application of a simple technique of local recompression, previously developed by the author in the context of compressed membership problems and compressed pattern matching, to word equations. The technique is based on local modification of variables (replacing X by aX or Xa) and iterative replacement of pairs of letters appearing in the equation by a `fresh' letter, which can be seen as a bottom-up compression of the solution of the given word equation, to be more specific, building an SLP (Straight-Line Programme) for the solution of the word equation. Using this technique we give a new, independent and self-contained proofs of most of the known results for word equations. To be more specific, the presented (nondeterministic) algorithm runs in O(n log n) space and in time polynomial in log N, where N is the size of the length-minimal solution of the word equation. The presented algorithm can be easily generalised to a generator of all solutions of the given word equation (without increasing the space usage). Furthermore, a further analysis of the algorithm yields a doubly exponential upper bound on the size of the length-minimal solution. The presented algorithm does not use exponential bound on the exponent of periodicity. Conversely, the analysis of the algorithm yields an independent proof of the exponential bound on exponent of periodicity. We believe that the presented algorithm, its idea and analysis are far simpler than all previously applied. Furthermore, thanks to it we can obtain a unified and simple approach to most of known results for word equations. As a small additional result we show that for O(1) variables (with arbitrary many appearances in the equation) word equations can be solved in linear space, i.e. they are context-sensitive.

研究动机与目标

• 开发一种使用局部重压缩的新算法，用于求解词方程。
• 对词方程理论中的关键结果提供独立证明，包括解大小和周期性的界限。
• 证明具有 k 个变量的可满足词方程集合是上下文敏感的。
• 将该算法推广以在不增加空间使用的情况下生成所有解。
• 仅通过算法分析，建立长度最小解大小的二重指数上界。

提出的方法

• 通过将 X 替换为 aX 或 Xa 来修改变量，以简化方程。
• 迭代地将不同的字母对 ab（a ≠ b）替换为一个新字母，从底部向上压缩解。
• 该方法为解构建直线程序（SLP），实现高效表示和操作。
• 算法按阶段运行，每阶段将解长度减少一个有界因子，确保终止。
• 使用 SLP 等价性测试验证替换，利用已知的多项式时间方法。
• 通过追踪各阶段解长度的减少，推导出解大小和周期性的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用一种简单、局部的重压缩技术，高效且独立于先前算法地求解词方程？
• RQ2 词方程的长度最小解的最大大小是多少？能否独立地进行界定？
• RQ3 解中周期性指数的上界是多少？能否从算法行为中推导出？
• RQ4 能否扩展该算法以在不增加空间复杂度的情况下生成所有解？
• RQ5 重压缩过程是否通过其结构特性天然地产生解大小和周期性的界限？

主要发现

• 该算法在 O(n log n) 空间内运行，时间复杂度为 n 和 log N 的多项式时间，其中 n 为输入大小，N 为长度最小解的大小。
• 长度最小解的大小被界定为 2^{q(n)·n_v^{c n_v}}，其中 q 为某个多项式，c 为常数，证明了二重指数上界。
• 解中周期性指数的上界为指数函数，且独立于算法压缩行为推导得出。
• 该算法提供了自包含的证明，独立于 Makanin 原始的指数界，证明了解大小的二重指数上界。
• 当变量数量为常数时，空间复杂度为 O(m)，其中 m 为输入大小，表明 k 变量词方程是上下文敏感的。
• 该算法可扩展为在不增加空间使用的情况下生成所有解，同时保持相同的复杂度界限。