[论文解读] Reconfiguration of Digraph Homomorphisms

Benjamin Lévêque, Moritz Mühlenthaler+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文将Wrochna针对无向图同态重配置的拓扑方法扩展至有向图，提出当H为无环有向图且不含代数围长为零的4-圈，或为无三角形且代数围长为1的自反有向图时，H-重着色问题的多项式时间算法。该方法基于H的基本群中的行走可实现性与对称行走条件，通过图遍历与代数约束高效检测有效重着色序列。

ABSTRACT

For a fixed graph H, the H-Recoloring problem asks whether, given two homomorphisms from a graph G to H, one homomorphism can be transformed into the other by changing the image of a single vertex in each step and maintaining a homomorphism to H throughout. The most general algorithmic result for H-Recoloring so far has been proposed by Wrochna in 2014, who introduced a topological approach to obtain a polynomial-time algorithm for any undirected loopless square-free graph H. We show that the topological approach can be used to recover essentially all previous algorithmic results for H-Recoloring and that it is applicable also in the more general setting of digraph homomorphisms. In particular, we show that H-Recoloring admits a polynomial-time algorithm i) if H is a loopless digraph that does not contain a 4-cycle of algebraic girth 0 and ii) if H is a reflexive digraph that contains no triangle of algebraic girth 1 and no 4-cycle of algebraic girth 0.

研究动机与目标

• 将Wrochna针对无向图同态重配置的算法框架扩展至有向图场景。
• 确定固定模板有向图H的充分条件，使得H-重着色问题可在多项式时间内求解。
• 将先前关于传递竞赛图与自反圈的重配置结果推广至更广泛的有向图类。
• 利用H基本群中的对称行走，建立H中行走可实现性的拓扑表征。

提出的方法

• 基于模板有向图H的基本群π(H)的拓扑方法，分析行走的可实现性。
• 若行走Q在G中诱导H基本群上的对称行走，特别是在其强连通分量上，则称Q为H-可实现的。
• 应用Tarjan算法计算G的强连通分量，并识别参与有向圈的顶点。
• 采用向前移动算法逐步模拟重着色序列，同时保持同态不变性。
• 使用广度优先搜索探索从α(q)到β(q)的行走，并检查生成行走的对称性条件。
• 应用推进或拉动性质，指导顶点颜色变化，同时在整个变换过程中保持同态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定有向图H，在何种条件下，H-重着色问题对任意输入图G均可在多项式时间内求解？
• RQ2 用于无向无平方图的拓扑方法能否推广至具有特定圈结构的有向图？
• RQ3 H中圈的代数围长在决定H-重着色可 tractability 中起何种作用？
• RQ4 如何利用H基本群π(H)中的对称行走来表征有向图中有效重着色序列？
• RQ5 当存在时，是否存在一种标准方法构造满足推进或拉动性质的重着色序列？

主要发现

• 对于任意不含代数围长为零的4-圈的无环有向图H，H-重着色问题可在多项式时间内求解。
• 对于自反有向图H，若H既不含代数围长为1的三角形，也不含代数围长为零的4-圈，则H-重着色问题可在多项式时间内求解。
• G中的行走Q当且仅当对G中每个有向圈，其在H上诱导的行走关于π(H)对称时，为H-可实现的。
• 该算法使用广度优先搜索与Tarjan算法，高效探索行走与强连通分量的可实现性条件。
• 当从α(q)到β(q)存在唯一H-可实现行走时，向前移动算法可在多项式时间内构造重着色序列。
• 若所有从α(q₀)到β(q₀)的行走在V′（有向圈中的顶点集）上均生成π(H)中的对称行走，则可通过BFS与向前移动算法找到有效重着色序列。