[论文解读] Reconfiguration of Dominating Sets

Akira Suzuki, Amer E. Mouawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文研究了图中支配集的重配置问题，重点关注解空间 Dk(G) 的连通性与直径性质，其中顶点代表大小至多为 k 的支配集，边连接仅相差一个顶点的集合。本文通过证明 D_{γ(G)+1}(G) 并非必然连通——即使在平面图、有界树宽图或 3-分图中亦然——解决了长期悬而未决的问题，并构造出 D_{γ(G)+1}(G) 具有指数直径的图；同时证明了当图中存在大小至少为 n/2 的匹配时，D_n(G) 是连通的，且其直径为线性规模。

ABSTRACT

We explore a reconguration version of the dominating set problem, where a dominating set in a graph G is a set S of vertices such that each vertex is either in S or has a neighbour in S. In a reconfiguration problem, the goal is to determine whether there exists a sequence of feasible solutions connecting given feasible solutions s and t such that each pair of consecutive solutions is adjacent according to a specified adjacency relation. Two dominating sets are adjacent if one can be formed from the other by the addition or deletion of a single vertex. For various values of k, we consider properties of Dk(G), the graph con-sisting of a vertex for each dominating set of size at most k and edges speci ed by the adjacency relation. Addressing an open question posed by Haas and Seyffarth, we demonstrate that D (G)+1(G) is not neces-sarily connected, for (G) the maximum cardinality of a minimal dom-inating set in G. The result holds even when graphs are constrained to be planar, of bounded tree-width, or b-partite for b 3. Moreover, we construct an infinite family of graphs such that D
 (G)+1(G) has exponential diameter, for 
 (G) the minimum size of a dominating set. On the positive side, we show that Dn(G) is connected and of linear diameter for any graph G on n vertices with a matching of size at least + 1.

研究动机与目标

• 研究大小至多为 k 的支配集的重配置图 Dk(G) 的结构性质。
• 通过证明 Haas 与 Seyffarth 提出的关于 D_{γ(G)+1}(G) 连通性的开放问题，予以解决。
• 分析包括平面图、有界树宽图及 b-分图在内的各类图类中 Dk(G) 的直径。
• 识别出 Dk(G) 必然连通且直径较小的条件。
• 建立一般图中 D_n(G) 连通且直径为线性规模的充分条件。

提出的方法

• 构建重配置图 Dk(G)，其中顶点表示大小不超过 k 的支配集，边连接仅相差一个顶点的集合。
• 利用图论构造方法，生成无限多个图族，使得 D_{γ(G)+1}(G) 不连通且具有指数直径。
• 应用结构图论分析图中最小支配集与匹配的性质。
• 通过图中存在大小至少为 n/2 的匹配，证明 D_n(G) 的连通性。
• 采用归纳与构造性论证，证明在匹配条件下 D_n(G) 的直径具有线性上界。
• 分析极端图类（平面图、有界树宽图、b-分图），以证明在强约束下负面结果依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 D_{γ(G)+1}(G) 是否对所有图 G 都必然连通，如先前研究中所猜想或隐含的？
• RQ2 即使限制在平面图或有界树宽图中，D_{γ(G)+1}(G) 是否仍可能具有指数直径？
• RQ3 是否存在某些图类，使得 D_{γ(G)+1}(G) 在平面性或有界树宽等结构约束下仍不连通？
• RQ4 在何种条件下 D_n(G) 必然连通且直径为线性规模？
• RQ5 大匹配的存在性与 D_n(G) 的连通性及直径之间存在何种关系？

主要发现

• 即使 G 是平面图、具有有界树宽或为 3-分图，D_{γ(G)+1}(G) 也并非必然连通。
• 存在一个无限图族，使得 D_{γ(G)+1}(G) 具有指数直径。
• 对于任意具有大小至少为 n/2 的匹配的 n 个顶点的图 G，D_n(G) 是连通的。
• 在相同匹配条件下，D_n(G) 的直径关于 n 为线性规模。
• 本结果解决了 Haas 与 Seyffarth 提出的关于 D_{γ(G)+1}(G) 连通性的开放问题。
• 构造出 D_{γ(G)+1}(G) 不连通且具有指数直径的图族，其结果在多个自然图类中均成立。