[论文解读] Reconsideration of the multivariate moment problem and a new method for approximating multivariate integrals

Ognyan Kounchev, Hermann Render|ArXiv.org|Sep 16, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文引入了伪正测度——即在球谐函数中具有非负拉普拉斯-傅里叶系数的测度——以重新表述多元矩问题。通过构造最小支撑测度，该研究提出了一种新的求积公式，该公式推广了高斯-雅典格罗伯特积，能够精确计算次数不超过 2p−1 的多项式，从而实现多元积分的稳定、高精度逼近。

ABSTRACT

Due to its intimate relation to Spectral Theory and Schrödinger operators, the multivariate moment problem has been a subject of many researches, so far without essential success (if one compares with the one--dimensional case). In the present paper we reconsider a basic axiom of the standard approach - the positivity of the measure. We introduce the so--called pseudopositive measures instead. One of our main achievements is the solution of the moment problem in the class of the pseudopositive measures. A measure \ $μ$ is called pseudopositive if its Laplace-Fourier coefficients $μ_{k,l}(r) ,$ $r\geq0,$ in the expansion in spherical harmonics are non--negative. Another main profit of our approach is that for pseudopositive measures we may develop efficient ''cubature formulas'' by generalizing the classical procedure of Gauss--Jacobi: for every integer \ $p\geq1$ we construct a new pseudopositive measure $ν_{p}$ having ''minimal support'' and such that $μ(h) =ν_{p}(h) $ for every polynomial $h$ with $Δ^{2p}h=0.$ The proof of this result requires application of the famous theory of Chebyshev, Markov, Stieltjes, Krein for extremal properties of the Gauss-Jacobi measure, by employing the classical orthogonal polynomials $p_{k,l;j},$ $j\geq0,$ with respect to every measure $μ_{k,l}.$ As a byproduct we obtain a notion of multivariate orthogonality defined by the polynomials $p_{k,l;j}$. A major motivation for our investigation has been the further development of new models for the multivariate Schrödinger operators, which generalize the classical result of M. Stone saying that the one--dimensional orthogonal polynomials represent a model for the self--adjoint operators with simple spectrum.

研究动机与目标

• 为解决将经典一元矩理论推广至高维时面临的长期困难，即难以验证正性条件。
• 通过引入一类新的有符号测度——伪正测度，克服非负测度在多元矩问题中的局限性。
• 开发一种稳定高效的多元积分逼近方法，基于高斯-雅典格罗伯特积分的推广。
• 基于球谐函数与径向正交多项式，建立多元正交性框架。
• 为逼近多调和函数的积分提供计算工具，其应用涵盖谱理论与反问题。

提出的方法

• 将伪正测度定义为：其拉普拉斯-傅里叶系数 μ_{k,l}(r) 对所有 r ≥ 0 非负的测度。
• 将函数分解为球谐函数，并将多元问题约化为 [0, ∞) 上的径向测度 μ_{k,l}。
• 应用切比雪夫、马尔可夫、施蒂尔杰斯与克雷因的经典极值理论，为每个 μ_{k,l} 构造最小支撑测度 σ_{k,l}^{(s)}。
• 通过组合测度 σ_{k,l}^{(s)} 构造求积公式 ν^{(s)}，使得对所有满足 Δ^{2p}h = 0 的多项式 h，有 ∫h dμ = ∫h dν^{(s)}。
• 利用每个 μ_{k,l} 的正交多项式 p_{k,l;j}，通过类似高斯-雅典格罗伯特的方法构建求积节点与权重。
• 通过增加节点数与调和阶数来确保数值稳定性，其收敛性由多调和空间的结构保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持计算可处理性的前提下，将经典多元矩问题重新表述为允许使用有符号测度的形式？
• RQ2 能否构造一种保持高精度与稳定性的多元高斯-雅典格罗伯特积分的推广形式？
• RQ3 何种测度条件可确保其矩可由最小支撑有符号测度逼近？
• RQ4 如何利用球谐函数将正交多项式理论推广至多元情形？
• RQ5 多调和函数在定义多元求积公式的精确性空间中起何作用？

主要发现

• 本文在伪正测度类中建立了多元矩问题的解，其定义基于非负的拉普拉斯-傅里叶系数。
• 对每个整数 p ≥ 1，构造了一个最小支撑伪正测度 ν_p，使得对所有满足 Δ^{2p}h = 0 的多项式 h，有 ∫h dμ = ∫h dν_p。
• 该方法通过将函数分解为球谐函数，并对径向分量应用一维求积，将高斯-雅典格罗伯特积分推广至多元积分。
• 该构造依赖于对径向测度 μ_{k,l} 应用经典极值理论，确保最优节点与权重的存在性。
• 随着节点数与调和阶数的增加，所得求积公式仍保持数值稳定性。
• 该方法为多调和测度等价性提供了新框架，对反问题与位势理论具有重要意义。