[论文解读] Reconsidering the Ostrogradsky theorem: Higher-derivatives Lagrangians, Ghosts and Degeneracy

Alexander Ganz, Karim Noui|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 60被引用 30

一句话总结

对Ostrogradsky不稳定性的全面综述，讨论退化如何在高阶导数理论中逃避幽灵，以及对多变量、量子方面和共变理论的扩展，包含关于退化约束的新结果。

ABSTRACT

We review the fate of the Ostrogradsky ghost in higher-order theories. We start by recalling the original Ostrogradsky theorem and illustrate, in the context of classical mechanics, how higher-derivatives Lagrangians lead to unbounded Hamiltonians and then lead to (classical and quantum) instabilities. Then, we extend the Ostrogradsky theorem to higher-derivatives theories of several dynamical variables and show the possibility to evade the Ostrogradsky instability when the Lagrangian is "degenerate", still in the context of classical mechanics. In particular, we explain why higher-derivatives Lagrangians and/or higher-derivatives Euler-Lagrange equations do not necessarily lead to the propagation of an Ostrogradsky ghost. We also study some quantum aspects and illustrate how the Ostrogradsky instability shows up at the quantum level. Finally, we generalize our analysis to the case of higher order covariant theories where, as the Hamiltonian is vanishing and thus bounded, the question of Ostrogradsky instabilities is subtler.

研究动机与目标

• 总结原始的Ostrogradsky定理及其在经典力学中对高阶导数拉格朗日的影响。
• 解释在具有多个动力学变量的系统中，拉格朗日函数的退化如何避免Ostrogradsky不稳定性。
• 说明退化如何将高阶运动方程降为低阶系统并识别初始/次级约束。
• 讨论量子方面以及在具体模型如Pais-Uhlenbeck中的Ostrogradsky幽灵的命运，包括与常规变量的耦合。
• 将讨论推广到共变理论，以及在Hamiltonian在解系统上为零时的细微差别。

提出的方法

• 对L(\u000b7\u0011)型拉格朗日的标准Ostrogradsky分析并推导出无界的哈密顿量。
• 扩展到多变量与耦合系统，以揭示在哪些条件下会出现退化。
• 进行哈密顿分析以揭示初始约束和次级约束，以及它们如何消除幽灵自由度。
• 给出显式的退化拉格朗日形式，并将高阶欧拉-拉格朗日方程简化为二阶系统。
• 回顾量子化问题，以及Ostrogradsky不稳定性在量子层面的表现，包括Pais-Uhlenbeck情景。
• 推广到协变理论，在该理论中解态哈密顿量可能在on-shell为零，并讨论不稳定性的微妙之处。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下高阶导数拉格朗日会传播Ostrogradsky幽灵？
• RQ2 拉格朗日函数或动能矩阵的退化如何消除或隐藏幽灵自由度？
• RQ3 在多变量系统中，哪些哈密顿和约束结构能保证无幽灵的演化？
• RQ4 量子方面如何揭示或抑制高阶导数理论中的Ostrogradsky不稳定性？
• RQ5 将Ostrogradsky分析扩展到协变、广义相对论背景时会有哪些变化？

主要发现

• 非退化的高阶导数拉格朗日通常会传播Ostrogradsky幽灵，伴随无界哈密顿量。
• 退化引入初始约束和次级约束，可以消除Ostrogradsky幽灵并降低有效自由度。
• 动能矩阵 det(L_{\u00b7\u000b7}) 起着核心作用：det(K)=0 表示退化以及去除幽灵的可能性。
• 退化拉格朗日即使存在高阶导数，也能产生二阶有效运动方程。
• 量子分析（如Pais-Uhlenbeck）表明不稳定性可能出现或被避免，取决于耦合和频率结构。
• 在协变理论中，on-shell哈密顿量为零引入细微差别，需小心评估幽灵自由度。