[论文解读] Reconstructing the potential for the 1D Schrödinger equation from boundary measurements

Sergei Avdonin, Victor Mikhaylov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出一种新算法，利用边界控制法（Boundary Control Method）从边界测量数据重构一维薛定谔方程中的势函数。通过从狄利克雷-诺伊曼数据中恢复谱和谱函数，该方法将反问题简化为经典反谱问题，在仅已知有限个特征值的条件下，实现了重构势函数在 $ H^{-1}(0,1) $ 范数下的收敛性。

ABSTRACT

We consider the inverse problem of the determining the potential in the dynamical Schrödinger equation on the interval by the measurement on the whole boundary. Provided that source is \emph{generic} using the Boundary Control method we recover the spectrum of the problem from the observation at either left or right end points. Using the specificity of the one-dimensional situation we recover the spectral function, reducing the problem to the classical one which could be treated by known methods. We adapt the algorithm to the situation when only the finite number of eigenvalues are known and provide the result on the convergence of the method.

研究动机与目标

• 从解的空间导数的边界测量中恢复一维薛定谔方程中势函数 $ q(x) $ 的反问题。
• 建立一种方法，从边界迹 $ \{u_x(0,t), u_x(1,t)\} $ 恢复谱数据（特征值和谱函数）。
• 将反谱重构方法适配到仅能获得有限个特征值的现实情况。
• 在有限数据条件下，证明重构势函数在 $ H^{-1}(0,1) $-范数下的收敛性。
• 在实际测量约束条件下，展示算法的稳定性和可行性。

提出的方法

• 应用边界控制法（BCM）推导一个广义特征值问题，其中涉及由边界数据 $ r_0(t) $ 或 $ r_1(t) $ 定义的积分算子。
• 利用广义特征值问题的解恢复特征值 $ \lambda_k $ 和乘积 $ a_k \phi_k'(0) $、$ a_k \phi_k'(1) $，其中 $ a_k $ 为初始数据的傅里叶系数。
• 利用一维结构，从恢复的谱数据重构谱函数 $ \rho(\lambda) $。
• 将原始反问题简化为可通过盖尔范德-列维坦、克雷因或BCM方法求解的经典反谱问题。
• 仅使用有限个特征值近似谱数据，并构造近似核序列 $ \widetilde{c}_{n,N}^\tau $，以定义近似势函数序列 $ \widetilde{q}_{n,N} $。
• 证明当 $ n \to \infty $ 时，$ \widetilde{q}_{n,N} $ 在 $ H^{-1}(0,1) $-范数下收敛于真实势函数 $ q $，前提是核的逼近具有一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从解的空间导数的边界测量中恢复一维薛定谔算子的谱？
• RQ2 如何仅利用边界数据和特征值问题的结构，在一维中重构谱函数？
• RQ3 当仅已知有限个特征值时，势函数重构算法的收敛行为如何？
• RQ4 在有限数据近似下，反问题是否稳定？可保证何种范数收敛？
• RQ5 该方法能否适应于不完整谱数据的实际场景，同时保持收敛性？

主要发现

• 一维薛定谔算子的特征值 $ \lambda_k $ 通过涉及由边界数据 $ r_0(t) $ 定义的积分算子的广义特征值问题，从边界数据 $ r_0(t) $ 恢复得到。
• 利用一维结构重构谱函数 $ \rho(\lambda) $，将反问题简化为经典反谱理论问题。
• 当仅已知有限个特征值时，该算法构造出近似势函数 $ \widetilde{q}_{n,N} $，其在 $ n \to \infty $ 时于 $ H^{-1}(0,1) $-范数下收敛于真实势函数 $ q $。
• 收敛性具有一致性，即对所有 $ t \in (0,1) $，有 $ \int_0^t \widetilde{q}_{n,N}(s)\,ds \rightrightarrows \int_0^t q(s)\,ds $。
• 该方法确保 $ \widetilde{q}_{n,N} \to q $ 在 $ H^{-1}(0,1) $ 中成立，且平均值 $ \frac{1}{\varepsilon} \int_t^{t+\varepsilon} \widetilde{q}_{n,N}(s)\,ds $ 在 $ t $ 和 $ \varepsilon $ 上具有一致收敛性。
• 该方案的稳定性关键取决于边界数据的收敛类型；目前假设 $ r_n \to r $ 几乎处处点态收敛，更强的收敛假设可能带来更优的稳定性。