[论文解读] Reconstruction Algorithms for Positron Emission Tomography and Single Photon Emission Computed Tomography and their Numerical Implementation

A. S. Fokas, Arieh Iserles+1 more|ArXiv.org|Dec 4, 2004

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于非线性可积系统数学技术的新型解析重建算法，用于正电子发射断层扫描（PET）和单光子发射计算机断层扫描（SPECT），实现了对Radon变换和衰减Radon变换的精确反演。通过三次样条逼近的数值实现，能够准确重建标准体模（如Shepp–Logan体模），滤波处理有效减少了Gibbs伪影，验证了该方法在临床影像应用中的鲁棒性。

ABSTRACT

The modern imaging techniques of Positron Emission Tomography and of Single Photon Emission Computed Tomography are not only two of the most important tools for studying the functional characteristics of the brain, but they now also play a vital role in several areas of clinical medicine, including neurology, oncology and cardiology. The basic mathematical problems associated with these techniques are the construction of the inverse of the Radon transform and of the inverse of the so called attenuated Radon transform respectively. We first show that, by employing mathematical techniques developed in the theory of nonlinear integrable equations, it is possible to obtain analytic formulas for these two inverse transforms. We then present algorithms for the numerical implementation of these analytic formulas, based on approximating the given data in terms of cubic splines. Several numerical tests are presented which suggest that our algorithms are capable of producing accurate reconstruction for realistic phantoms such as the well known Shepp--Logan phantom.

研究动机与目标

• 开发基于先进数学技术的精确解析公式，用于重建PET和SPECT中的放射性药物分布。
• 通过三次样条逼近方法对这些解析公式进行数值实现，以实现实际重建。
• 在真实成像条件下，对包括Shepp–Logan体模和胸腔模型在内的现实医学体模验证该算法。
• 通过针对性的滤波程序减轻数值伪影（如Gibbs–Wilbraham现象）。
• 证明中间数据的粗采样（例如10个点而非200个点）已足够实现精确重建，从而降低计算成本。

提出的方法

• 利用非线性可积方程的数学方法，推导出PET的逆Radon变换，获得用于重建放射性药物分布g(x₁,x₂)的精确解析公式。
• 类似地，采用解析技术对SPECT的衰减Radon变换进行反演，考虑通过CT测量得到的衰减f(x₁,x₂)。
• 数值实现依赖于使用三次样条对测量数据进行逼近，从而实现对逆变换的稳定且精确的计算。
• 通过样条插值和积分关系，计算中间函数h(ρ,θ)、fᶜᵐᵉ(ρ,θ)、fˢᵐᵉ(ρ,θ)、hᶜ(ρ,θ)、hˢ(ρ,θ)和I(τ,ρ,θ)。
• 在二维网格上使用逆公式(3.10)进行重建，最终图像g(x₁,x₂)由计算得到的函数r(τ,ρ,θ)重构。
• 后处理包括滤波：对PET应用五次平均滤波（a=0.005），并进行阈值处理（值小于最大值的1/20时设为零）；对SPECT采用中值滤波并结合阈值处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于非线性可积系统的解析反演公式有效应用于PET和SPECT中的逆Radon变换与衰减Radon变换？
• RQ2 基于三次样条的数值实现能否实现对复杂医学体模（如Shepp–Logan体模）的高保真度重建？
• RQ3 对Radon变换数据进行粗采样（例如10个点而非200个点）在多大程度上能保持重建精度并降低计算负载？
• RQ4 滤波技术（包括平均滤波与中值滤波结合阈值处理）在抑制重建图像中Gibbs–Wilbraham伪影方面的效果如何？
• RQ5 所提出的算法能否对临床相关的体模（包括人体胸腔和心肌模型）实现准确重建？

主要发现

• 所提出的解析重建算法能够以高保真度重建Shepp–Logan体模和临床体模，视觉对比显示滤波前后结果显著改善。
• 采用三次样条逼近可实现对逆变换的稳定且精确的数值实现，即使在数据采样有限的情况下亦成立。
• 滤波程序——特别是对PET采用平均滤波结合阈值处理（a=0.005），对SPECT采用中值滤波结合阈值处理——显著减少了重建图像中的Gibbs–Wilbraham伪影。
• 即使中间数据仅以10个等间距点对t进行采样，重建精度仍得以保持，表明计算成本可大幅降低而无需损失保真度。
• 该方法在500×500网格上实现PET重建，在140×140网格上实现SPECT重建，证明了其在标准成像网格上的可扩展性与鲁棒性。
• 结果证实，基于非线性可积系统的数学框架为临床PET和SPECT重建提供了一条可行且精确的路径。