[论文解读] Reconstruction of functions from their triple correlations

Philippe Jaming, Mihahilis N. Kolountzakis|ArXiv.org|Jul 4, 2002

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文研究了从三重相关（3-deck）重建函数的问题，重点关注在 L¹(ℝ) 或循环群 ℤ/nℤ 上的函数是否能通过其 3-deck 唯一确定至平移等价。利用傅里叶分析，作者证明了对于 ℝ 上紧致可测集的特征函数，以及当 n = p^a 或 n = pq（p, q 为素数）时 ℤ/nℤ 上的子集，其 3-deck 唯一确定了函数至平移等价。反例表明，对于一般 L¹ 函数该结论不成立，但该结果在特征函数和特定群结构下的有理数值函数中成立。

ABSTRACT

Suppose that A is a subset of an abelian group G. To know the 3-deck of A is to know the number of occurences in A of translates of each possible multiset {0,a,b}. The concept of the 3-deck is naturally extended to integrable functions on G. In this paper we study when the 3-deck of a function determines the function up to translations. The method is to look at the Fourier Transform of the function. Our emphasis is on the real line and the cyclic groups.

研究动机与目标

• 确定函数的 3-deck 在何种条件下能唯一确定其至平移等价，将组合重建问题扩展至测度论与调和分析的设定。
• 解决关于 ℤ/nℤ 子集是否能通过其 3-deck 唯一确定至平移等价的开放问题，特别是当 n = p^a 和 n = pq 且 p, q 为素数时。
• 通过提供 3-deck 唯一确定集合至平移等价的所有情况的完整分类，连接 Radcliffe 和 Scott 与 Grunbaum 和 Moore 的结果。
• 研究衍射理论与纹理分析中的相位恢复问题，其中 3-deck（双谱）被用于克服仅从 2-deck（自相关）重建时的歧义。
• 证明对于非负函数 f ∈ L¹(ℝ) ∩ L∞(ℝ)，若 f 与某特征函数 χ_E 具有相同的 3-deck，则 f 必须也是某可测集 F 的特征函数，从而将问题简化为集合重建。

提出的方法

• 使用傅里叶变换分析函数 f 的 3-deck，定义为 N_f(x₁,…,x_{k-1}) = ∫ f(t)f(t+x₁)⋯f(t+x_{k-1}) dt，特别关注 k=3 的情形。
• 在阿贝尔群（特别是 ℝ 和 ℤ/nℤ）上应用调和分析，将 3-deck 与函数的傅里叶变换联系起来。
• 运用特征理论和傅里叶变换的支集分析，证明若 χ_E 的傅里叶变换具有特定支集结构，则 3-deck 可唯一确定 E 至平移等价。
• 在傅里叶域中使用卷积恒等式：对于 E ⊂ ℤ/nℤ，条件 N_χ_E = N_χ_F 意味着傅里叶变换满足 ĝ * ĝ * ĝ = f̂ * f̂ * f̂，从而导出结构约束。
• 基于 χ_E 的傅里叶变换支集进行情形分析，区分变换在某处为零或非零的情形，并利用周期性与对偶性将问题约化为素数幂或素数乘积的情形。
• 通过构造 ℤ/nℤ 中集合 E 和 F 的显式反例（n = pqr，r ≥ 3），其具有相同的 3-deck 但不是平移，表明 3-deck 对于一般 L¹ 函数不足以唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些阿贝尔群 G 和函数 f ∈ L¹(G)，f 能通过其 3-deck 唯一确定至平移等价？
• RQ2 在 ℤ/nℤ 情形下，当 n = p^a 或 n = pq（p, q 为不同素数）时，子集 E 的 3-deck 何时足以唯一重建 E 至平移等价？
• RQ3 3-deck 是否能解决相位恢复问题中的非唯一性，特别是在 2-deck（自相关）无法唯一确定函数时？
• RQ4 是否存在非平凡的非特征函数族，其共享相同的 3-deck 但彼此不是平移？
• RQ5 在何种条件下，非负函数 f ∈ L¹(ℝ) ∩ L∞(ℝ) 的 3-deck 暗示 f 是某可测集的特征函数？

主要发现

• 对于 ℤ/nℤ 中满足 n = p^a（p 为素数）的集合 E，3-deck 唯一确定 E 至平移等价，扩展了此前对素数 n 的结果。
• 对于 ℤ/nℤ 中满足 n = pq（p, q 为不同素数）的集合 E，3-deck 唯一确定 E 至平移等价，该结果通过傅里叶支集分析与卷积恒等式得到证明。
• 作者构造了一个不可数族的非负 L¹ 函数，其在 ℝ 上具有相同的 3-deck 但彼此不是平移，表明 3-deck 无法唯一确定一般 L¹ 函数。
• 若 f = χ_E 是 ℝ 中紧致可测集 E 的特征函数，且 g ∈ L¹(ℝ) ∩ L∞(ℝ) 为非负函数且与 f 具有相同的 3-deck，则 g 必须也是某可测集 F 的特征函数，从而将问题简化为集合重建。
• 对于 ℤ/nℤ 上的有理数值函数，当 n = p^a 或 n = pq 时，3-deck 可唯一确定函数至平移等价，且可显式刻画解为周期分量的平移。
• 针对 n = pqr（r ≥ 3）的反例表明，当 n 有三个或更多素因子时，3-deck 无法唯一确定 ℤ/nℤ 中的集合，从而确认了在 n = p^a 和 n = pq 情形下结果的最优性。