[论文解读] Recoverable Robust Single Machine Scheduling with Polyhedral Uncertainty

Matthew Bold, Marc Goerigk|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在多面体不确定性的单机调度问题中的可恢复鲁棒方法，其中在加工时间实现后，第一阶段的调度可通过最多Δ个不相交的作业交换进行调整。该文引入了基于匹配和分配结构的紧凑混合整数规划公式，计算结果表明，即使仅允许一次交换，也能捕捉到大部分的调整收益，且基于分配的模型在所提出的三种公式中表现最强。

ABSTRACT

This paper considers a recoverable robust single-machine scheduling problem under polyhedral uncertainty with the objective of minimising the total flow time. In this setting, a decision-maker must determine a first-stage schedule subject to the uncertain job processing times. Then following the realisation of these processing times, they have the option to swap the positions of up to Delta disjoint pairs of jobs to obtain a second-stage schedule. We first formulate this scheduling problem using a general recoverable robust framework, before we examine the incremental subproblem in further detail. We prove a general result for max-weight matching problems, showing that for edge weights of a specific form, the matching polytope can be fully characterised by polynomially many constraints. We use this result to derive a matching-based compact formulation for the full problem. Further analysis of the incremental problem leads to an additional assignment-based compact formulation. Computational results on budgeted uncertainty sets compare the relative strengths of the three compact models we propose.

研究动机与目标

• 针对在可恢复鲁棒性框架下具有不确定作业加工时间的鲁棒单机调度问题。
• 开发紧凑的混合整数规划公式，以高效建模具有有限调整动作的可恢复鲁棒调度问题。
• 分析作业交换的增量子问题，基于匹配和分配结构推导出定制化公式。
• 在预算不确定集下，比较多种紧凑公式的计算性能。
• 研究允许交换次数（Δ）和不确定预算（Γ）增加对解的质量和鲁棒性的影响。

提出的方法

• 采用通用框架表述可恢复鲁棒调度问题，其中第一阶段的调度在不确定性实现后，可通过最多Δ个不相交的作业交换进行调整。
• 证明了当边权具有特定形式时，匹配多面体可由多项式数量的约束完全描述，从而无需使用奇圈不等式。
• 利用该结构结果，推导出完整问题的基于匹配的紧凑公式。
• 开发了一种对称的基于分配的紧凑公式，将整数匹配结果转移至该替代模型。
• 提出了三种精确模型：基于匹配的模型、基于分配的模型，以及Δ=0的受限版本以供比较。
• 在n ≤ 20的实例上进行计算实验，比较三种公式在预算不确定集下的相对强度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有有限调整交换的可恢复鲁棒单机调度问题建模为紧凑的混合整数规划？
• RQ2 增量子问题（作业交换）的何种结构特性使得可在无需奇圈约束的情况下实现紧凑公式？
• RQ3 增加允许的交换次数（Δ）如何影响目标值和解的鲁棒性？
• RQ4 增加不确定预算（Γ）对不同调整水平下最坏情况总流程时间的影响如何？
• RQ5 在所提出的紧凑公式中——基于匹配、基于分配或受限版本——哪一种提供最强的约束边界和最佳的计算性能？

主要发现

• 基于分配的公式在所提出的三种紧凑模型中最强，提供了最紧的边界和最佳的计算性能。
• 仅允许一次交换即可捕捉到调整收益的绝大部分，因为当Δ超过1后，目标值改进的边际收益迅速下降。
• 对于固定的Δ，增加不确定预算（Γ）会导致最坏情况总流程时间单调上升，当n=10时，Γ从3增加到7，平均目标值最高上升22.1%。
• 当Δ从0增加到3时，n=15和n=20实例的平均目标值平均下降1.0%，表明额外交换带来的收益稳定但适中。
• 基于匹配的公式是有效且紧凑的，这是由于在特定权重结构下解的整数性保证，从而无需奇圈约束。
• 计算结果仅限于n ≤ 20的实例，因为精确模型的计算成本过高，表明在大规模应用中需要启发式方法。