[论文解读] Recovering of dielectric constants of explosives via a globally strictly convex cost functional

Michael V. Klibanov, Nguyễn Trung Thành|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种全局收敛的数值方法，通过拉普拉斯变换和卡勒曼加权代价泛函，从边界测量中恢复爆炸物的介电常数。通过利用拉盖尔函数和卡勒曼权函数构造严格凸泛函，该方法确保了基于梯度的优化全局收敛，即使从较差的初始猜测出发也能实现可靠重构，1D数值实验验证了其在间断和连续系数情况下的有效性。

ABSTRACT

The inverse problem of estimating dielectric constants of explosives using boundary measurements of one component of the scattered electric field is addressed. It is formulated as a coefficient inverse problem for a hyperbolic differential equation. After applying the Laplace transform, a new cost functional is constructed and a variational problem is formulated. The key feature of this functional is the presence of the Carleman Weight Function for the Laplacian. The strict convexity of this functional on a bounded set in a Hilbert space of an arbitrary size is proven. This allows for establishing the global convergence of the gradient descent method. Some results of numerical experiments are presented.

研究动机与目标

• 为解决利用探地雷达检测爆炸物时，传统方法因目标泛函非凸而导致局部收敛的系数反问题挑战。
• 通过开发一种用于双曲波方程系数估计的全局收敛算法，消除对精确初始猜测的依赖。
• 通过在 $L_2(\underline{s}, \infty)$ 中使用正交函数的级数展开，替代拉普拉斯域公式中无限积分的截断。
• 在希尔伯特空间的任意有界集上建立代价泛函的严格凸性，确保梯度下降的全局收敛性。
• 通过1D数值实验展示计算可行性与改进的精度，将混合方法与局部收敛求解器进行比较。

提出的方法

• 将反问题表述为双曲PDE的系数反问题，利用散射电场分量的边界测量。
• 对时变波方程应用拉普拉斯变换，将其转化为拉普拉斯域中的非线性椭圆方程组。
• 在拉普拉斯域中，使用拉盖尔函数将解表示为级数展开，构成 $L_2(\underline{s}, \infty)$ 中的正交基。
• 通过引入卡勒曼权函数（CWF）构造最小二乘代价泛函，以在希尔伯特空间的任意有界集上实现严格凸性。
• 证明当参数 $\lambda$ 足够大时，CWF 确保了泛函的严格凸性，从而实现梯度法的全局收敛。
• 采用两阶段算法：首先，使用全局收敛方法获得良好的初始近似；其次，使用局部收敛方法（SQP）进行精炼。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为电磁成像中爆炸物的系数反问题构建一种全局收敛方法？
• RQ2 是否可以通过在正交基中使用级数展开，避免拉普拉斯域中无限积分的截断？
• RQ3 在希尔伯特空间的任意有界集上，代价泛函中包含卡勒曼权函数是否能确保严格凸性？
• RQ4 当从较差的初始猜测（如背景介质）开始时，所提方法能否优于局部收敛方法？
• RQ5 在1D数值设置下，对间断和连续介电系数的重构精度如何？

主要发现

• 当卡勒曼权函数参数 $\lambda$ 足够大时，代价泛函在希尔伯特空间的任意有界集上为严格凸，从而确保梯度下降的全局收敛。
• 1D数值实验表明，混合算法（结合全局与局部优化）即使在存在大跳跃（如 $c(x) = 1 + 14\chi[0.03,0.1]$）的情况下，也能对分段常数和连续介电系数实现高精度重构。
• 当从均匀背景介质初始化时，仅使用局部收敛方法无法收敛到正确解，而所提混合方法在所有测试案例中均成功。
• 当局部收敛方法从全局收敛第一阶段的输出开始时，重构精度显著提升，如示例1–4所示。
• 即使介电常数低于背景介质，该方法仍能成功恢复目标，如示例3中所示 $c(x) = 1 - 0.5\chi[0.03,0.15]$。
• 该算法对目标位置和系数变化具有鲁棒性，在靠近测量点的位置也获得准确结果，与实际GPR数据预处理结果一致。