[论文解读] Recovery of Piecewise Smooth Images from Few Fourier Samples

Greg Ongie, Mathews Jacob|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文提出一种类似Prony的方法，通过利用傅里叶域中的消去关系，从少量傅里叶样本中恢复二维分段光滑图像。该方法将恢复问题建模为使用凸优化的结构化低秩矩阵补全问题，实现了从仅3,185个低分辨率傅里叶样本中对分段常数图像的精确连续域重建，已在MRI幻像上得到验证。

ABSTRACT

We introduce a Prony-like method to recover a continuous domain 2-D piecewise smooth image from few of its Fourier samples. Assuming the discontinuity set of the image is localized to the zero level-set of a trigonometric polynomial, we show the Fourier transform coefficients of partial derivatives of the signal satisfy an annihilation relation. We present necessary and sufficient conditions for unique recovery of piecewise constant images using the above annihilation relation. We pose the recovery of the Fourier coefficients of the signal from the measurements as a convex matrix completion algorithm, which relies on the lifting of the Fourier data to a structured low-rank matrix; this approach jointly estimates the signal and the annihilating filter. Finally, we demonstrate our algorithm on the recovery of MRI phantoms from few low-resolution Fourier samples.

研究动机与目标

• 解决从有限傅里叶样本中恢复连续域分段光滑图像的挑战，特别是在传统压缩感知或非网格化方法因边缘结构复杂性而失效的情况下。
• 通过引入基于微分算子的更现实的分段光滑函数模型，克服先前复杂解析信号模型的局限性。
• 建立基于消去关系的、从少量傅里叶样本中唯一恢复分段常数图像的充分必要条件。
• 提出一种一步式凸优化框架，通过傅里叶域中的结构化低秩矩阵补全，联合估计图像及其边缘集合。
• 在真实世界幻像上展示该方法在超分辨率MRI重建中的有效性，采样量极低。

提出的方法

• 将二维分段光滑图像建模为在区域内光滑、在由三角多项式零水平集定义的边界上不连续的函数。
• 推导图像及其偏导数的傅里叶系数之间的消去关系，利用偏导数是沿边缘的狄拉克函数的线性组合这一事实。
• 通过与消去滤波器的卷积，将傅里叶数据提升为结构化低秩矩阵（T），其中矩阵的秩对应于边缘区域的数量。
• 将恢复问题表述为凸矩阵补全问题：在已知傅里叶样本的约束下，最小化提升矩阵的核范数，采用无SVD的ADMM算法以实现可扩展性。
• 利用提升矩阵在单步优化中联合估计边缘集合与图像振幅，避免了先前方法的两步式流程。
• 通过逆DFT将恢复的傅里叶系数外推至高分辨率网格，实现无需离散化误差的精确连续域图像重建。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过消去滤波器方法，仅从最少数量的低频傅里叶样本中唯一恢复二维分段光滑图像的边缘集合？
• RQ2 对分段常数图像进行精确恢复所需傅里叶样本数量的充分必要条件是什么？
• RQ3 如何将图像振幅与边缘几何的联合估计表述为傅里叶域中的单个凸优化问题？
• RQ4 能否使用结构化低秩矩阵补全框架，从少量均匀分布的低分辨率傅里叶样本中恢复高分辨率图像，而无需事先知道边缘多项式次数？
• RQ5 与现有非网格化和压缩感知方法相比，该方法在MRI幻像恢复中的重建精度和鲁棒性如何？

主要发现

• 对于分段常数图像，本文基于消去多项式的次数，推导出唯一恢复边缘集合所需的傅里叶样本数量的精确充分必要条件。
• 该方法仅用3,185个傅里叶样本即成功恢复了256×256的Shepp-Logan MRI幻像——约20倍欠采样——实现了高保真重建。
• 所提出的通过结构化低秩矩阵补全的一次式凸算法优于两步式方法，因其联合估计信号与边缘集合，降低了误差并提高了稳定性。
• 在使用核范数松弛并引入Tikhonov正则化项时，该算法对噪声和模型失配具有鲁棒性，使其在实际噪声环境中具有应用潜力。
• 重建图像中的振铃伪影是精确傅里叶系数恢复的固有特性，可通过温和的后处理缓解，证实了该方法的准确性。
• 无SVD的ADMM算法使大规模矩阵补全问题的求解成为可能，使该方法在高分辨率图像重建中具备可行性。