[论文解读] Rectangle Free Coloring of Grids

Stephen Fenner, William Gasarch+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文解决了确定哪些矩形网格可使用2、3或4种颜色进行着色，使得任意轴对齐矩形的四个角不具有相同颜色的问题。通过组合构造和有限域方法，作者完全刻画了c = 2、3和4时的障碍集，给出了c-可着色性的精确条件，并推导出关于二分Ramsey数的新界。

ABSTRACT

A two-dimensional \emph{grid} is a set $\Gnm = [n] imes[m]$. A grid $\Gnm$ is \emph{$c$-colorable} if there is a function $χ_{n,m}: \Gnm o [c]$ such that there are no rectangles with all four corners the same color. We address the following question: for which values of $n$ and $m$ is $\Gnm$ $c$-colorable? This problem can be viewed as a bipartite Ramsey problem and is related to a the Gallai-Witt theorem (also called the multidimensioanl Van Der Waerden's Theorem). We determine (1) \emph{exactly} which grids are 2-colorable, (2) \emph{exactly} which grids are 3-colorable, and (3) \emph{exactly} which grids are 4-colorable. We use combinatorics, finite fields, and tournament graphs.

研究动机与目标

• 确定n×m网格在何种精确条件下可进行c-着色，且不出现任何单色矩形。
• 刻画c = 2、3和4时的障碍集OBS_c，即最小的不可c-着色网格。
• 将结果应用于推导二分Ramsey数的新界。
• 探讨无矩形着色与Gallai-Witt定理及有限域构造之间的联系。

提出的方法

• 使用无矩形集合及函数maxrf(n,m)，该函数给出n×m网格中最大无矩形子集的大小。
• 采用强c-着色和强(c,c')-着色方法，系统地构建有效着色。
• 应用有限域构造（特别是针对素数幂c）生成c²×c²和c²×(c²+c)网格的显式c-着色。
• 利用组合设计构建最大尺寸的无矩形集合，尤其针对较小的n和m。
• 利用一个事实：当且仅当网格不包含障碍集OBS_c中的任何网格时，该网格才是c-可着色的。
• 在分析构造不可行的情况下（特别是OBS_4中的较大网格），采用计算机辅助验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些n和m值，n×m网格可进行c-着色，使得任意轴对齐矩形的四个角颜色相同？
• RQ2 c = 2、3和4时，障碍集OBS_c的精确结构是什么？
• RQ3 有限域构造如何实现c²×c²和c²×(c²+c)网格的显式c-着色？
• RQ4 通过无矩形着色的刻画，可推导出关于二分Ramsey数的哪些新界？
• RQ5 对于较小的n和m，n×m网格中最大无矩形子集的大小maxrf(n,m)的精确值是什么？

主要发现

• 本文完全刻画了障碍集OBS_2：当且仅当网格不包含G_{3,7}或G_{7,3}时，该网格是2-可着色的。
• 对于c = 3，障碍集OBS_3恰好包含13个网格，其中最大的是G_{10,10}，且所有不包含其中任一网格的网格都是3-可着色的。
• 对于c = 4，障碍集OBS_4包含147个网格，其中最大的是G_{21,12}，且所有不包含其中任一网格的网格都是4-可着色的。
• 作者证明，对于任意素数幂c，使用有限域构造可实现G_{c²,c²}网格的c-着色。
• 他们进一步证明，对于素数幂c，G_{c²,c²+c}也是c-可着色的，从而扩展了已知c-可着色网格的范围。
• 本文给出了所有0 ≤ n ≤ 6且m ≤ n时maxrf(n,m)的精确值，并为更大的n和m提供了递归与构造性界。