[论文解读] Rectifiability of Singular Sets in Noncollapsed Spaces with Ricci Curvature bounded below

Jeff Cheeger, Wenshuai Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用 25

一句话总结

该论文证明了在下有界 Ricci 曲率的非坍塌 Riemann 限制空间中，奇异集的可矩形性，证明了第 $k$ 个层次 $S^k$ 是 $k$-可矩形的，且对 $ olimits^k$-几乎处处的 $x\in S^k$，切锥是 $k$-对称的。此外，还表明奇异集 $S^{n-2}$ 是 $(n-2)$-可矩形的且具有有限的 $ olimits^{n-2}$-测度，且切锥在 $(n-2)$-维 Hausdorff 测度零的集合外唯一，显著改进了先前的正则性结果。

ABSTRACT

This paper is concerned with the structure of Gromov-Hausdorff limit spaces $(M^n_i,g_i,p_i)\stackrel{d_{GH}}{\longrightarrow} (X^n,d,p)$ of Riemannian manifolds satisfying a uniform lower Ricci curvature bound $Rc_{M^n_i}\geq -(n-1)$ as well as the noncollapsing assumption $Vol(B_1(p_i))>v>0$. In such cases, there is a filtration of the singular set, $S_0\subset S_1\cdots S_{n-1}:= S$, where $S^k:= \{x\in X: ext{ no tangent cone at $x$ is }(k+1) ext{-symmetric}\}$; equivalently no tangent cone splits off a Euclidean factor $\mathbb{R}^{k+1}$ isometrically. Moreover, by \cite{ChCoI}, $\dim S^k\leq k$. However, little else has been understood about the structure of the singular set $S$. Our first result for such limit spaces $X^n$ states that $S^k$ is $k$-rectifiable. In fact, we will show that for $k$-a.e. $x\in S^k$, {\it every} tangent cone $X_x$ at $x$ is $k$-symmetric i.e. that $X_x= \mathbb{R}^k imes C(Y)$ where $C(Y)$ might depend on the particular $X_x$. We use this to show that there exists $ε=ε(n,v)$, and a $(n-2)$-rectifible set $S^{n-2}_ε$, with finite $(n-2)$-dimensional Hausdorff measure $H^{n-2}(S_ε^{n-2})

研究动机与目标

• 理解 Gromov-Hausdorff 限制下 Riemann 流形序列（Ricci 曲率有下界且体积非坍塌）奇异集的精细结构。
• 在这些限制空间中建立第 $k$ 个层次 $S^k$ 的可矩形性，改进先前的维数界。
• 证明对 $ olimits^k$-几乎处处的 $x\in S^k$，在 $x$ 处的每个切锥都是 $k$-对称的，即形式为 $\mathbb{R}^k \times C(Y)$。
• 证明奇异集 $S^{n-2}$ 是 $(n-2)$-可矩形的且具有有限的 $ olimits^{n-2}$-测度，且正则部分与光滑 Riemann 流形双 Hölder 等价。
• 建立切锥在 $(n-2)$-维 Hausdorff 测度零集合外的唯一性，并在双侧 Ricci 曲率有界下给出 Codimension 4 猜想的新证明。

提出的方法

• 利用 [ChNa13] 中引入的定量分层框架，该框架通过测量切锥中对称性的程度，对经典分层进行了细化。
• 提出一个精确的锥分裂定理，以控制颈区域中调和函数的退化。
• 应用几何变换定理，分析限制锥上的调和函数并推导 Hessian 衰减估计。
• 使用颈分解和颈区域——即度量近似为横截面的度量锥的区域——并基于热核分析。
• 应用 Poincaré 不等式和 $W^{1,2}$-收敛性，以控制逼近序列上函数的行为。
• 使用 $ olimits$-正则性和熵压紧技术，分析颈区域的结构并控制奇异集的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非坍塌 Ricci 限制空间中，奇异集的第 $k$ 个层次 $S^k$ 是否为 $k$-可矩形的？
• RQ2 对 $ olimits^k$-几乎处处的 $x\in S^k$，在 $x$ 处的每个切锥是否都是 $k$-对称的，即形式为 $\mathbb{R}^k \times C(Y)$？
• RQ3 在给定的曲率和非坍塌假设下，能否证明奇异集 $S^{n-2}$ 是 $(n-2)$-可矩形的且具有有限的 $ olimits^{n-2}$-测度？
• RQ4 在奇异集的 $ olimits^{n-2}$-几乎处处点上，切锥是否唯一？
• RQ5 颈区域的结构是否允许在双侧 Ricci 曲率有界下，对 Codimension 4 猜想给出新证明？

主要发现

• 对每个 $k=0,\dots,n-1$，第 $k$ 个层次 $S^k$ 是 $k$-可矩形的，且满足 $\mathcal{H}^k(S^k) < \infty$。
• 对 $ olimits^k$-几乎处处的 $x\in S^k$，在 $x$ 处的每个切锥都是 $k$-对称的，即存在某个度量空间 $C(Y)$ 使得 $X_x = \mathbb{R}^k \times C(Y)$。
• 存在 $\epsilon = \epsilon(n,\mathrm{v}) > 0$，使得集合 $S^{n-2}_\epsilon$ 是 $(n-2)$-可矩形的，且满足 $\mathcal{H}^{n-2}(S^{n-2}_\epsilon) < C(n,\mathrm{v}) < \infty$。
• 正则部分 $X^{n} \setminus S^{n-2}_\epsilon$ 与光滑 Riemann 流形双 Hölder 等价。
• 在奇异集的 $ olimits^{n-2}$-几乎处处点上，切锥是唯一的，即具有非唯一切锥的点集的 $(n-2)$-维 Hausdorff 测度为零。
• 在双侧 Ricci 曲率有界 $|\mathrm{Ric}| \leq n-1$ 下，奇异集 $\mathrm{Sing}(X)$ 是 $(n-4)$-可矩形的，且 $ olimits^{n-4}$-测度一致有界，且切锥在 $(n-4)$-维 Hausdorff 测度零集合外唯一。