[论文解读] Recurrence, dimensions and Lyapunov exponents

Benoît Saussol, Serge Troubetzkoy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 19

一句话总结

本文建立了在一维动力系统中，平均首次返回时间、李雅普诺夫指数与维数之间的基本关系。证明了对典型点而言，收缩邻域的对数返回时间随半径的负对数线性缩放，且该缩放率等于局部豪斯多夫维数。关键贡献在于通过返回时间的非平衡态热力学，直接建立了返回时间渐近行为与李雅普诺夫指数和维数等关键动力学不变量之间的联系。

ABSTRACT

We show that the Poincaré return time of a typical cylinder is at least its length. For one dimensional maps we express the Lyapunov exponent and dimension via return times.

研究动机与目标

• 建立动力系统中返回时间热力学的理论基础。
• 推导正度量熵系统中柱集首次返回时间的下界。
• 通过返回时间统计表达不变测度的李雅普诺夫指数与豪斯多夫维数。
• 证明当 r→0 时，log τr(x) / (-log r) 的极限几乎处处等于局部维数 μ。

提出的方法

• 利用柯尔莫哥洛夫复杂度与怀特对布吕多定理的强化，以控制返回时间的增长率。
• 应用柱集与一维映射中点的邻域返回时间 τr(x) 的概念。
• 采用霍夫包厄对球与柱集的比较，将返回时间与度量熵及李雅普诺夫指数关联。
• 利用熵与李雅普诺夫指数的估计，建立 log τr(x) / (-log r) 的 lim inf 与 lim sup 的渐近界。
• 结合符号动力系统、测度熵理论与维数理论，证明返回时间缩放的收敛性。
• 利用典型点处半径为 r 的球的返回时间按 r^(-dμ(x)) 缩放的性质，其中 dμ(x) 为局部维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正度量熵系统中，柱集首次返回时间的最小可能增长速率是什么？
• RQ2 能否从收缩邻域中返回时间的渐近行为恢复李雅普诺夫指数？
• RQ3 极限 lim_{r→0} log τr(x) / (-log r) 几乎处处存在吗？若存在，其值为何？
• RQ4 通过返回时间统计，局部维数 dμ(x)、度量熵 hμ 与李雅普诺夫指数 λμ 之间有何关系？

主要发现

• 对于任意正度量熵的遍历系统，τ(ζⁿˣ)/n 的下极限几乎处处至少为 1，确立了遍历性的一个基本下界。
• 极限 lim_{r→0} log τr(x) / (-log r) 几乎处处存在，且等于局部豪斯多夫维数 dμ(x)。
• 对于一大类一维映射，局部维数 dμ(x) 等于 hμ / λμ，且与 log τr(x) / (-log r) 的极限相等。
• 返回时间缩放的上下界被证明收敛于 hμ / λμ，从而证明了极限与维数比的相等性。
• 该结果即使在具有临界点与抛物点的映射中依然成立，表明其适用范围远超一致双曲系统。
• 证明依赖于霍夫包厄结果对球与柱集的精确比较，并利用柯尔莫哥洛夫复杂度控制熵的增长。