[论文解读] Recurrence relations and fast algorithms

Mark Tygert|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2006

Numerical Methods and Algorithms参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出了一类快速算法，用于计算满足线性递推关系的特殊函数（如加权正交多项式与贝塞尔函数）的变换。通过利用由这些递推关系导出的三对角自伴矩阵的谱分解，该方法实现了 $ O(n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^{3}) $ 的计算复杂度，显著优于标准的 $ O(n^2) $ 方法，同时保持了高精度。

ABSTRACT

We construct fast algorithms for evaluating transforms associated with families of functions which satisfy recurrence relations. These include algorithms both for computing the coefficients in linear combinations of the functions, given the values of these linear combinations at certain points, and, vice versa, for evaluating such linear combinations at those points, given the coefficients in the linear combinations; such procedures are also known as analysis and synthesis of series of certain special functions. The algorithms of the present paper are efficient in the sense that their computational costs are proportional to n (ln n) (ln(1/epsilon))^3, where n is the amount of input and output data, and epsilon is the precision of computations. Stated somewhat more precisely, we find a positive real number C such that, for any positive integer n > 10, the algorithms require at most C n (ln n) (ln(1/epsilon))^3 floating-point operations and words of memory to evaluate at n appropriately chosen points any linear combination of n special functions, given the coefficients in the linear combination, where epsilon is the precision of computations.

研究动机与目标

• 开发用于计算满足递推关系的特殊函数线性组合的高效算法。
• 实现正交多项式与贝塞尔函数相关级数的快速分析与合成。
• 将高精度变换的计算成本从 $ O(n^2) $ 降低至 $ O(n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^3) $。
• 将快速谱方法的应用范围从标准 FFT 扩展至更广泛的特殊函数类别。
• 通过关联勒让德函数支持球谐函数及相关变换的实用化实现。

提出的方法

• 利用递推关系的解对应于三对角自伴矩阵的特征向量这一事实。
• 使用分治谱算法高效计算特征值，并高效应用特征向量矩阵 $ U $ 和 $ U^T $。
• 应用快速算法进行 $ U $ 和 $ U^T $ 的矩阵-向量乘法，其基于递归二分法与反幂迭代。
• 利用对角缩放矩阵 $ S $ 和 $ S^{-1} $ 实现系数空间与函数取值之间的变换。
• 结合基于递推的函数表示法、求积节点与克里斯托费尔数，实现函数的精确评估。
• 将该方法应用于权函数为 $ w(x) = (1-x)^m(1+x)^m $ 的正交多项式以及不同阶数的贝塞尔函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为满足线性递推关系的特殊函数变换构造快速算法？
• RQ2 此类算法的计算复杂度是多少？是否能以输入大小 $ n $ 和精度 $ \varepsilon $ 的形式进行界定？
• RQ3 如何利用三对角矩阵的谱分解来加速正交多项式变换的计算？
• RQ4 该框架能否扩展至贝塞尔函数与球谐函数？
• RQ5 克里斯托费尔数与求积节点在实现线性组合快速评估中起到何种作用？

主要发现

• 所提出的算法在 $ n \geq 10 $ 且 $ \varepsilon \leq 1/10 $ 时，最多需要 $ C n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^3 $ 次浮点运算和内存字，其中 $ C $ 为通用常数。
• 该方法可在 $ O(n \ln n (\ln(1/\varepsilon))^3) $ 次运算内，快速评估 $ n $ 个特殊函数在 $ n $ 个点上的线性组合。
• 通过使用特征向量矩阵的伴随矩阵，逆问题（即从函数值恢复系数）也可在相同复杂度下求解。
• 利用特征向量矩阵的第一列，可借助同一框架快速计算正交多项式的克里斯托费尔数。
• 贝塞尔函数的零点可通过谱算法中特征值计算步骤高效计算。
• 通过为关联勒让德函数选择适当的权函数，该框架可支持球谐函数的快速变换。