[论文解读] Recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials

Jun Ma, Shi-Mei Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过在特定置换集上使用下降与上升统计量，为二项式欧拉多项式建立了三个构造性证明，提供了这些多项式对称性问题的双射解法。一个关键贡献是利用置换上的带符号循环统计量，对 $k$-等实超平面排列补集的贝蒂数给出了组合解释。

ABSTRACT

Binomial-Eulerian polynomials were introduced by Postnikov, Reiner and Williams. In this paper, properties of the binomial-Eulerian polynomials, including recurrence relations and generating functions are studied. We present three constructive proofs of the recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials. Moreover, we give a combinatorial interpretation of the Betti number of the complement of the k-equal real hyperplane arrangement.

研究动机与目标

• 为二项式欧拉多项式的递推关系提供构造性证明。
• 通过 $\mathcal{Q}_n$ 上的下降与上升统计量，给出 $\widetilde{A}_n(x)$ 对称性的双射证明，以解决问题 1.2。
• 建立 $k$-等实超平面排列补集的贝蒂数的组合解释。
• 推导多变量二项式欧拉多项式的生成函数，并将其与已知的正交多项式联系起来。

提出的方法

• 使用指数生成函数和微分方程推导 $\widetilde{A}_n(x)$ 的递推关系。
• 结合组合与代数技巧，对 $\widetilde{A}_n(x)$ 的递推关系构造三种不同的证明。
• 引入多变量生成函数 $\widetilde{A}(x,y,q;z)$，以建模置换上的带符号循环与超越统计量。
• 利用该生成函数推导涉及 $\widetilde{A}_n(x,1,-1,-1)$ 和 $\widetilde{A}_n(x,1,-1,1)$ 的恒等式，将其与贝蒂数联系起来。
• 建立定义为 $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$ 上循环统计量之和的多项式 $T_n(q)$ 与查理尔多项式之间的联系。
• 通过将其与正交查理尔多项式关联，证明 $T_n(q)$ 仅有实根。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $\mathcal{Q}_n$ 上的下降与上升统计量，对二项式欧拉多项式 $\widetilde{A}_n(x)$ 的对称性给出双射证明？
• RQ2 $k$-等实超平面排列补集的贝蒂数 $B(n,k)$ 的组合意义是什么？
• RQ3 二项式欧拉多项式的多变量生成函数如何编码置换上的带符号统计量？
• RQ4 循环计数多项式 $T_n(q)$ 与经典正交多项式之间存在何种关系？
• RQ5 通过 $\widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}$ 上循环统计量定义的多项式 $T_n(q)$ 是否仅有实根？

主要发现

• 通过三种不同的构造性方式证明了 $\widetilde{A}_n(x)$ 的递推关系，其中定理 2.11 通过 $\mathcal{Q}_n$ 上的下降与上升统计量，给出了 $\widetilde{A}_n(x)$ 对称性的双射证明。
• 贝蒂数 $B(n,k)$ 被组合地解释为在具有 $n-k$ 个超越的置换上，$\sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} (-1)^{{\rm cyc}(\sigma)+{\rm aexc}(\sigma)}$ 的带符号和。
• 推导出生成函数 $\sum_{n \geq 0} B_n(x) \frac{z^n}{n!} = \frac{e^z + x e^{(2+x)z}}{1+x}$，将贝蒂数与指数生成函数联系起来。
• 循环计数多项式 $T_n(q) = \sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} q^{{\rm cyc}(\sigma)}$ 满足递推关系 $T_{n+1}(q) = (n+1+q)T_n(q) - nT_{n-1}(q)$，初始条件为 $T_0(q) = q$，$T_1(q) = q + q^2$。
• 证明了 $T_n(q) = (-1)^n q C_n^{(1)}(-q)$，其中 $C_n^{(1)}(x)$ 为查理尔多项式，从而表明对所有 $n \geq 0$，$T_n(q)$ 仅有实根。
• 对 $n \geq 2$，证明了恒等式 $\sum_{\sigma \in \widehat{\mathcal{Q}}_{n+1}} (-1)^{{\rm cyc}(\sigma)} = n-1$，为交错循环和提供了闭式表达。